Vektör Uzayları

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  K en az iki elemanlı bir küme,  +:K\times{K}\rightarrow{K} ve  \cdot:K\times{K}\rightarrow{K} iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa  (K,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir:

F1)  \forall{a,b,c}\in{K}, (a+b)+c=a+(b+c),

F2)  \forall{a,b}\in{K}, a+b=b+a,

F3)  \exists{0}\in{K}: \forall{a}\in{K}, a+0=a,

F4)  \forall{a}\in{K}, \exists{b}\in{K}: a+b=0,

F5)  \forall{a,b,c}\in{K}, (ab)c=a(bc),

F6)  \forall{a,b}\in{K}, ab=ba,

F7)  \forall{a,b,c}\in{K}, a(b+c)=ab+ac,

F8)  \exists{1}\in{K}: \forall{a}\in{K}, 1a=a,

F9)  \forall{a}\in{K\setminus{\{0\}}}, \exists{b}\in{K}: ab=1.

(Burada  a\cdot{b} gösterimi yerine  ab gösterimi kullanılmıştır)

ÖRNEK1:  \mathbb{Q} Rasyonel sayılar kümesi,  \mathbb{R} Reel sayılar kümesi ve  \mathbb{C} Kompleks sayılar kümesi, bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre birer cisimdir.

ÖRNEK2:  p, bir asal sayı,  k\in{\mathbb{Z}} olmak üzere  k+p\mathbb{Z}=\{k+px : x\in{\mathbb{Z}}\} ve  \mathbb{Z}_{p}=\{k+p\mathbb{Z} : k\in{\mathbb{Z}}\} olsun.  k,l\in{\mathbb{Z}} olmak üzere  (k+p\mathbb{Z})+_{p}(l+p\mathbb{Z})=(k+l)+p\mathbb{Z} ve  (k+p\mathbb{Z})\cdot_{p}(l+p\mathbb{Z})=kl+p\mathbb{Z} olarak tanımlarsak  (\mathbb{Z}_{p},+_{p},\cdot_{p}) üçlüsü  p elemanlı bir cisim olur.

ÖRNEK3:  \mathbb{Z} tam sayılar kümesi F1,F2,...,F8 koşullarının hepsini sağlamasına rağmen F9 koşulunu sağlamadığından cisim değildir.  2\in\mathbb{Z}'dir, fakat  2k=1 koşulunu sağlayan bir  k\in{\mathbb{Z}} bulunmadığından F9 koşulu sağlanmaz.

Cisimler konusunu detaylı olarak Cebir kategorisi açıldığında işleyeceğiz. Şimdi asıl konumuz olan Vektör uzayları konusuna giriş yapalım:

TANIM2:  X bir küme ve  K bir cisim olsun.  +:X\times{X}\rightarrow{X} ve  \cdot:K\times{X}\rightarrow{X} iki fonksiyon olmak üzere aşağıdaki koşullar sağlanırsa  (X,K,+,\cdot) dörtlüsüne bir vektör uzayı ya da lineer uzay denir:

L1)  \forall{x,y,z}\in{X}, (x+y)+z=x+(y+z),

L2)  \forall{x,y}\in{X}, x+y=y+x,

L3)  \exists{\theta}\in{X}: \forall{x}\in{X}, x+\theta=x,

L4)  \forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{X}: x+y=\theta,

L5)  \forall{a}\in{K}, \forall{x,y}\in{X}, a(x+y)=ax+ay,

L6)  \forall{a,b}\in{K}, \forall{x}\in{X}, (a+b)x=ax+bx,

L7)  \forall{a,b}\in{K}, \forall{x}\in{X}, a(bx)=(ab)x,

L8)  \forall{x}\in{X}, 1x=x.

Bazen " (X,K,+,\cdot) bir vektör uzayıdır" ifadesi yerine " X,  K-vektör uzayıdır" ifadesi kullanılır.  X'in elemanlarına vektörler,  K'nın elemanlarına sayılar (skaler) denir.  K=\mathbb{R} ise  X'e reel vektör uzayı,  K=\mathbb{C} ise  X'e kompleks vektör uzayı denir. L3 özelliğindeki  \theta elemanına vektör uzayının sıfırı denir. Cismin sıfırı olan  0 ile karıştırmamak için  \theta ile gösterilir.  \theta\in{X} olduğundan bir vektör uzayı hiçbir zaman boş değildir. L4 özelliğindeki her bir  x\in{X} vektörüne karşılık gelen ve  x+y=\theta özelliğini sağlayan  y\in{X} vektörüne,  x vektörünün toplamaya göre tersi denir.

ÖRNEK4:  \mathbb{R} bir  \mathbb{R}-vektör uzayıdır. Genel olarak  K bir cisim ise kendi üzerinde bir vektör uzayıdır. Yani  \mathbb{Q} bir  \mathbb{Q}-vektör uzayı ve  \mathbb{C} bir  \mathbb{C}-vektör uzayıdır.

ÖRNEK5:  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  \mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{1,n},\text{ }x_{i}\in{\mathbb{R}}\} olsun.  (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})\in{\mathbb{R}^{n}} ve  \lambda\in{\mathbb{R}} olmak üzere, toplama işlemi:

 +:\mathbb{R}^{n}\times{\mathbb{R}^{n}}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}

 (x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots,x_{n}+y_{n}), skalerle çarpma işlemi:

 \cdot:\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^{n}}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}

 \lambda{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}:=(\lambda{x_{1}},\lambda{x_{2}},\dots,\lambda{x_{n}}) olarak tanımlanırsa  \mathbb{R}^{n} bir  \mathbb{R}-vektör uzayı olur.

Genelde  K bir cisim olduğunda  K^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{1,n}, \text{ }x_{i}\in{K}\} bir  K-vektör uzayı olur. Buradaki toplama ve skalerle çarpma işlemleri  \mathbb{R}^{n}'deki ile tamamen benzer biçimde tanımlanır. Buna göre  \mathbb{Q}^{n} bir  \mathbb{Q}-vektör uzayı ve  \mathbb{C}^{n} bir  \mathbb{C}-vektör uzayıdır.

ÖRNEK6:  K ve  L iki cisim,  K\subset{L},  n\in{\mathbb{Z}^{+}} ise  L^{n} bir  K-vektör uzayıdır. Buna göre  \mathbb{R}^{n},  \mathbb{Q} üzarinde ve  \mathbb{C}^{n},  \mathbb{Q} ve  \mathbb{R} üzerinde vektör uzaylarıdır.

ÖRNEK7:  K ve  L iki cisim ve  K\underset{\ne }{\mathop{\subset }}{L} ise  K,  L üzerinde bir vektör uzayı değildir.

ÇÖZÜM:  K'nın  L üzerinde vektör uzayı olmadığını göstermek için ilk akla gelen 8 özellikten birinin sağlanmadığını göstermektir. Fakat bizim çözümümüz bu biçimde olmayacaktır.  K'nın  L üzerinde vektör uzayı olabilmesi için ilk önce skalerle çarpma fonskiyonun  \cdot:L\times{K}\rightarrow{K} olması gerekir. Biz bunun sağlanmadığını göstereceğiz.  K\underset{\ne }{\mathop \subset}{L} olduğundan  \exists{\alpha}\in{L}: \alpha\notin{K}'dır. Ayrıca  1\in{K} olduğundan  (\alpha,1)\in{L\times{K}}'dır.  \cdot:L\times{K}\rightarrow{K} olduğundan  \alpha.1\in{K} olması gerekir. Yani  \alpha\in{K} olmalıdır. Fakat  \alpha\notin{K} olduğundan  \cdot:L\times{K}\rightarrow{K} değildir. Dolayısıyla  K,  L üzerinde bir vektör uzayı değildir.

Örnek7'ye göre  \mathbb{Q}\underset{\ne }{\mathop \subset}{\mathbb{R}} olduğundan  \mathbb{Q},  \mathbb{R} üzerinde ve  \mathbb{R}\underset{\ne }{\mathop \subset}{\mathbb{C}} olduğundan  \mathbb{R},  \mathbb{C} üzerinde vektör uzayı değildir.

ÖRNEK8:  T bir küme ve  K bir cisim olmak üzere,

 X=\{f \text{ }\vert\text{ } f:T\rightarrow{K} \text{ fonksiyon}\}

olarak tanımlansın.  f,g\in{X} için toplama işlemi:

 \forall{t}\in{T}, (f+g)(t):=f(t)+g(t),

 \lambda\in{K} ve  f\in{X} için skalerle çarpma işlemi:

 \forall{t}\in{T}, (\lambda{f})(t):=\lambda{f(t)} olarak tanımlanırsa  X bir  K-vektör uzayı olur. Bu uzay  X=K^{T} ile gösterilir.

Bu örnekte  K=\mathbb{R} ve  T=\{1,2,\dots,n\} olarak alınırsa  X=\mathbb{R}^{n} elde edilir. Ayrıca  T=\mathbb{N} ve  K=\mathbb{R} alınırsa  X=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}, yani bütün reel terimli diziler elde edilir. Bu vektör uzayı  S ile gösterilirse  S=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\} olur. Bu inşa kompleks terimli diziler için de yapılabilir.  K=\mathbb{C} olarak alınırsa  S=\mathbb{C}^{\mathbb{N}}=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\} olur.

ÖRNEK9:  K bir cisim ve  K[x], katsayıları  K'dan olan polinomların kümesi yani;

 K[x]=\{f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{0,n}, a_{i}\in{K}\} olsun.

 \lambda\in{K},  f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\in{K[x]} ve

 g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_{1}x+b_{0}\in{K[x]} olsun.

Toplama işlemi,  s=max\{n,m\},  i>n\Rightarrow{a_{i}=0} ve  i>m\Rightarrow{b_{i}=0} olmak üzere,

 (f+g)(x)=(a_{s}+b_{s})x^{s}+(a_{s-1}+b_{s-1})x^{s-1}+\dots+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}),

Skalerle çarpma işlemi,  (\lambda{f})(x)=\lambda{a_{n}}x^{n}+\lambda{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\lambda{a_{1}}x+\lambda{a_{0}} olarak

tanımlanırsa  K[x] bir  K-vektör uzayı olur.

ÖNERME1:  K bir cisim,  X bir  K-vektör uzayı olsun. Bu takdirde;

a)  \theta\in{X} tektir.

b)  \forall{x}\in{X} için  x'in toplamaya göre tersi tektir ( x+y=\theta özelliğini sağlayan bu tek eleman  y=-x olarak gösterilir).

c)  \forall{x}\in{X}, 0x=\theta.

d)  \forall{\lambda}\in{K}, \lambda\theta=\theta.

e)  \forall{x}\in{X}, (-1)x=-x.

f)  \lambda{x}=\theta\Leftrightarrow{\lambda=0\lor{x=\theta}}.

İSPAT:

TANIM3:  K bir cisim,  X bir  K-vektör uzayı ve  x,y\in{X} olsun. Bu durumda

 x-y=x+(-y)

olarak tanımlanır.

TANIM4:  X bir  K-vektör uzayı,  \emptyset\ne{M}\subset{X} olsun.

(i)  \forall{x,y}\in{M}, x+y\in{M},

(ii)  \forall{\lambda}\in{K}, ve  \forall{x}\in{M},  \lambda{x}\in{M}

koşulları sağlanıyorsa  M'ye  X'in bir "alt uzayı" ya da "alt vektör uzayı" denir. Bu durumda toplama foksiyonu  X\times{X}'den  M\times{M}'e ve skalerle çarpma fonksiyonu  K\times{X}'den  K\times{M}'e kısıtlanırsa  (M,K,+,\cdot) kendi başına bir vektör uzayı olur.

ÖNERME2:  X bir  K-vektör uzayı,  M\subset{X} alt uzay ise  \theta\in{M}'dir.

İSPAT:

Önerme2 ile Tanım4 şu biçimde de ifade edilebilir:

TANIM4':  X bir  K-vektör uzayı,  M\subset{X} olsun.

(i)  \theta\in{M}

(ii)  \forall{x,y}\in{M}, x+y\in{M},

(iii)  \forall{\lambda}\in{K}, ve  \forall{x}\in{M},  \lambda{x}\in{M}

koşulları sağlanıyorsa  M'ye  X'in bir "alt uzayı" ya da "alt vektör uzayı" denir. Tanım4' ile hemen şu sonuca varılır:  \theta\notin{M} ise  M bir alt uzay değildir.

ÖNERME3:  X bir  K-vektör uzayı,  \emptyset\ne{M}\subset{X} olsun. Bu takdirde:

 M bir alt uzaydır  \iff  \forall{a,b}\in{K}, \text{ }\forall{x,y}\in{M}, \text{ }ax+by\in{M}.

İSPAT:

ÖRNEK10:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Bu takdirde  M_{0}=\{\theta\}\subset{X} ve  M_{1}=X\subset{X} birer alt uzaydır.

TANIM5:  M_{0} ve  M_{1}'e  X'in trivial alt uzayları denir.  X'in trivial'den farklı alt uzaylarına "özalt uzay" denir. Başka bir deyişle  \{\theta\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{M}\underset{\ne }{\mathop \subset}{X} özelliğini sağlayan bir alt uzaya özalt uzay denir.

ÖRNEK11:  X=\mathbb{R}^{2},  c_{1},c_{2}\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde,

 M=M_{c_{1},c_{2}}=\{(x_{1},x_{2})\in{\mathbb{R}^{2}}\text{ }|\text{ }c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=0\}

 \mathbb{R}^{2}'nin bir alt uzayıdır.  c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0 ise  M_{c_{1},c_{2}} özalt uzaydır.

ÇÖZÜM:  a,b\in{\mathbb{R}},  x=(x_1,x_2), y=(y_{1},y_{2})\in{M} olsun. O halde  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=0 ve  c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=0'dır.

 ax+by=a(x_{1},x_{2})+b(y_{1},y_{2})=(ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2})'dir.

 c_{1}(ax_{1}+by_{1})+c_{2}(ax_{2}+by_{2})=a(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})+b(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})=a0+b0=0

olduğundan  ax+by\in{M}'dir. Ayrıca  c_{1}0+c_{2}0=0 olduğundan  (0,0)\in{M}'dir. Dolayısıyla  M bir alt uzaydır.

Şimdi  c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0 olduğunda  M_{c_{1},c_{2}}'nin bir özalt uzay olduğunu gösterelim.

 c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0 ise  c_{1}\ne{0}\lor{c_{2}\ne{0}}'dır. Varsayalım ki  c_{1}\ne{0}'dır.  c_{1}(-c_{2})+c_{2}c_{1}=0 olduğundan  (-c_{2},c_{1})\in{M}.  (-c_{2},c_{1})\ne{(0,0)} olduğundan  \{(0,0)\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{M}'dir.

 (1-c_{2},c_{1})\in{\mathbb{R}^{2}}'dir.  (1-c_{2})c_{1}+c_{1}c_{2}=c_{1}\ne{0} olduğundan  (1-c_{2},c_{1})\notin{M}'dir. Sonuç olarak  \{(0,0)\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{M}\underset{\ne }{\mathop \subset}{\mathbb{R}^{2}}'dir.  c_{2}\ne{0} olduğunda  \{(0,0)\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{M}\underset{\ne }{\mathop \subset}{\mathbb{R}^{2}} olduğu benzer biçimde gösterilebilir.

ÖRNEK12:  X=\mathbb{R}^{2},  M=\{(x,x^{2})\in{\mathbb{R}^{2}}\text{ }|\text{ }x\in{\mathbb{R}}\} olsun.  0^{2}=0 olduğundan  (0,0)\in{M}'dir. O halde  M bir alt uzay olabilir.  1^{2}=1 olduğundan  (1,1)\in{M}.  M bir alt uzay olsaydı  2\in{\mathbb{R}} olduğundan  2(1,1)=(2,2)\in{M} olması gerekirdi. Fakat  2^{2}=4\ne{2} olduğundan  M bir alt uzay değildir.

ÖRNEK13:  X=\mathbb{R}^{3},

 M_{1}=\{(s-t,s+5t,2t-s) | s,t\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}},

 M_{2}=\{(s-t,s+5t,2t-1) | s,t\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}} olsun.

 M_{1} ve  M_{2}'nin alt uzay olup olmadığını araştıralım:

Önce  M_{1}'i inceleyelim:  s=t=0 için  (0-0,0+5.0,2.0-0)=(0,0,0)\in{M_{1}}'dir.

 a,b\in{\mathbb{R}} ve  \big{(}s-t,s+5t,2t-s\big{)}, \big{(}s'-t',s'+5t',2t'-s'\big{)}\in{M_{1}} olsun.

 a\big{(}s-t,s+5t,2t-s\big{)}+b\big{(}s'-t',s'+5t',2t'-s'\big{)}

 =\Big{(}as+bs'-(at+at'),as+bs'+5(at+at'),2(at+at')-(as+bs')\Big{)}\in{M_{1}}.

O halde  M_{1}\subset{\mathbb{R}^{3}} bir alt uzaydır.

Şimdi  M_{2}'yi inceleyelim:  (0,0,0)\in{M_{2}} olması için  (s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0) olacak biçimde  s,t\in{\mathbb{R}} var olmalıdır.

 (s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0)\Rightarrow{s-t=0\land{s+5t=0}\land{2t-1=0}}.

 2t-1=0 olduğundan  t=\displaystyle{\frac{1}{2}}'dir.  s-t=0 olduğundan  s=\displaystyle{\frac{1}{2}}'dir. Fakat  s+5t=\displaystyle{\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}=3\ne{0}}. Dolayısıyla  (s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0) olacak biçimde  s,t\in{\mathbb{R}} yoktur. O halde  (0,0,0)\notin{M_{2}}. Bu yüzden  M_{2} alt uzay değildir.

ÖRNEK14 (DİZİ UZAYLARI): Örnek8'da  S=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\} bütün reel dizilerin uzayını incelemiştik. Şimdi bu uzayın bazı önemli alt uzaylarına göz atalım:

 \displaystyle{l_{\infty}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|<+\infty}\}}

uzayı, Reel terimli ve sınırlı dizilerin uzayıdır. Bu uzay S'in bir özalt uzayıdır. Çünkü  \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1 seçilirse  (x_{n})\in{l_{\infty}} olur ve  l_{\infty}\ne{\{0\}} elde edilir. Öte yandan  \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=n seçilirse  (x_{n})\notin{l_{\infty}} ve  (x_{n})\in{S} olduğundan

 \{0\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{\infty}}\underset{\ne }{\mathop \subset}{S}

elde edilir. (Burada  \{0\} ile tüm terimleri sıfır olan  (x_{n})=(0,0,\dots,0,\dots) dizisini içeren tek elemanlı trivial alt uzay gösterilmektedir)

 \displaystyle{C=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{(x_{n})}} yakınsak \}

uzayı, Reel terimli ve yakınsak dizilerin uzayıdır. Yakınsak her dizi sınırlı olduğundan bu uzay  l_{\infty}'un bir özalt uzayıdır. Ayrıca  \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1 seçilirse

 \displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=1}

olduğundan  (x_{n})\in{C} olur ve  C\ne{\{0\}} elde edilir. Öte yandan  \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=(-1)^{n} seçilirse  (x_{n})\notin{C} ve  (x_{n})\in{l_{\infty}} olduğundan

 \{0\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{C}\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{\infty}}

elde edilir.

 \displaystyle{C_{0}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}\}}

 C_{0}\subset{C} olduğundan  C_{0} uzayı  C'nin bir alt uzayıdır.  \displaystyle{\forall{n\in{\mathbb{N}}}, x_{n}=\frac{1}{n}} seçilirse

 \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0}

olduğundan  x_{n}\in{C_{0}} olur. O halde  C_{0}\ne{\{0\}}'dır. Öte yandan  \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1 seçilirse

 \displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=1}

olduğundan  (x_{n})\notin{C_{0}} olur.  (x_{n})\in{C} olduğundan  \{0\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{C_{0}}\underset{\ne }{\mathop \subset}{C} sağlanır.

 1\le{p}<+\infty olmak üzere

 \displaystyle{l_{p}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\}}

uzayını göz önüne alalım.  (x_{n})\in{l_{p}} olsun.

 \displaystyle{(x_{n})\in{l_{p}}\Rightarrow{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}=0}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert=0}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}}

 \Rightarrow{(x_{n})\in{C_{0}}}. O halde  \forall{p}\in{[1,+\infty)}, l_{p}\subset{C_{0}}. Şimdi  l_{p}'lerin  C_{0}'ın öz alt uzayları olduğunu gösterelim:

 \displaystyle{x_{n}=\frac{1}{2^{n/p}}} olsun.  \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{2^{n/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1<+\infty} ise  (x_{n})\in{l_{p}}.

Dolayısıyla  \forall{p}\in{[1,+\infty)}, l_{p}\ne{\{0\}}

 \displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{1/p}}} olsun.  \displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\frac{1}{n^{1/p}}=0} ise  (x_{n})\in{C_{0}}.

 \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty} olduğundan  (x_{n})\notin{l_{p}}. Yani  \{0\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{p}}\underset{\ne }{\mathop \subset}{C_{0}}.

Şimdi  l_{p} uzaylarının kendi aralarındaki içerme ilişkisini inceleyelim:

 1\le{p}<q<+\infty olsun.

 \displaystyle{(x_{n})\in{l_{p}}\Rightarrow{(x_{n})\in{C_{0}}}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}}

 \Rightarrow{\forall{\varepsilon}>0, \exists{n_{\varepsilon}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{\varepsilon}, |x_{n}|<\varepsilon}

 \varepsilon=1 seçersek,

 \exists{n_{1}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{1}, |x_{n}|<1

 \Rightarrow{p<q} olduğundan  \forall{n}>n_{1},|x_{n}|^{q}<|x_{n}|^{p}

 \Rightarrow{(x_{n})\in{l_{p}}} olduğundan

 \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}=\sum_{n=1}^{n_{1}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}+\sum_{n=n_{1}+1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}<\sum_{n=1}^{n_{1}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}+\sum_{n=n_{1}+1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}

O halde  p<q\Rightarrow{l_{p}\subset{l_{q}}} doğrudur. Şimdi kesin içermenin sağlandığını gösterelim:

Yine  p<q olsun. O halde  \displaystyle{\frac{q}{p}>1}'dir.  \displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{1/p}}} olsun.

 \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty} olduğundan  (x_{n})\notin{l_{p}}.

 \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{q/p}}<+\infty} olduğundan  (x_{n})\in{l_{q}}.

O halde  p<q\Rightarrow{l_{p}\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{q}}} doğrudur.

Son olarak  \Phi=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0\}

uzayını inceleyelim:

 x_{n}=\left\{ \begin{array}{l} 1,\text{ }n=1\\0,\text{ }n>1 \end{array} \right.

olarak tanımlarsak  \forall{n}>1, x_{n}=0 olduğundan  (x_{n})\in{\Phi}'dir. O halde  \{0\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{\Phi}.

 (x_{n})\in{\Phi} ve  1\le{p}<\infty olsun.  \exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0

 \displaystyle{\Rightarrow{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}}= \sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}+\sum_{n=N+1}^{\infty}|x_{n}|^{p}= \sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}+\sum_{n=N+1}^{\infty}0=\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}<+\infty}

olduğundan  (x_{n})\in{l_{p}}. O halde  \Phi uzayı  l_{p}'nin bir alt uzayıdır. Şimdi kesin içermenin olduğunu gösterelim:

 \displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{2}}} olsun.  \displaystyle{\forall{n}\in{\mathbb{N}}, \frac{1}{n^{2}}\ne{0}} olduğundan  (x_{n})\notin{\Phi}.

Fakat

 \displaystyle{\forall{p}\in[1,+\infty), \sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2p}}<+\infty}

olduğundan  (x_{n})\in{l_{p}}'dir. Yani  \{0\}\underset{\ne }{\mathop \subset}{\Phi}\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{p}}.

O halde ele aldığımız bütün dizi uzayları için aşağıdaki içerme doğrudur:

 \Phi\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{p}}\underset{\ne }{\mathop \subset}{C_{0}}\underset{\ne }{\mathop \subset}{C}\underset{\ne }{\mathop \subset}{l_{\infty}}\underset{\ne }{\mathop \subset}{S}

Örnek14'te verilen bütün dizi uzayları reel terimli diziler için verilmiştir. Buradaki bütün örnekler kompleks terimli diziler için de verilebilir. Buna göre  S=\mathbb{C}^{\mathbb{N}} bütün kompleks terimli dizilerin uzayı olur. Bu uzayın alt uzayları da

 \displaystyle{l_{\infty}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|<+\infty}\}}

 \displaystyle{C=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{(x_{n})}} yakınsak \}

 \displaystyle{C_{0}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}\}}

 \displaystyle{l_{p}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\}}

 \Phi=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0\}

olarak verilebilir.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir