TANIM1: cisim olmak üzere, cismi üzerindeki bir lineer uzayınıntabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve ya da ile gösterilir. ’in sonlu bir tabanı varsa ’e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.
normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın , koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve “polarizasyon eşitliği”ni sağlar. Tersine normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:
ve iki normlu lineer uzay olmak üzere sınırlı lineer operatör ise olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da “supremum maksimuma eşit midir” problemi vardır. Ben, önceleri her sınırlı lineer operatörün normunun maksimum ile hesaplanabileceğini düşündüm. Günlerce bunu ispatlamaya çalıştım ama nafile, çıkmıyordu. Sonra, acaba aksi bir örnek var mıdır diye düşündüm, uğraştım ve en son aşağıda yayımlayacağım örneği inşa ettim. Çok sevinmiştim bu problemi çözünce. Hemen gidip bu örneği hocam Nazım Kerimov ile paylaştım ve onun büyük bir takdirini kazandım.
ve 
iki 
üçlüsüne bir cisim denir: