Akademik Matematik » altgrup http://www.akademikmatematik.com Akademik Matematik Siteniz Wed, 07 Jul 2010 10:05:21 +0000 http://wordpress.org/?v=2.9.2 en hourly 1 İki Altgrubun Çarpımının Mertebesi http://www.akademikmatematik.com/problem-cozumleri/iki-altgrubun-carpiminin-mertebesi.html http://www.akademikmatematik.com/problem-cozumleri/iki-altgrubun-carpiminin-mertebesi.html#comments Fri, 08 Jan 2010 21:09:40 +0000 ufukkaya http://www.akademikmatematik.com/?p=710 TEOREM: G bir grup, H ve K, G’nin iki sonlu altgrubu olsun. Bu takdirde, \displaystyle{|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap{K}|}} dır.

İSPAT: R\subset{(H\times{K})\times{(H\times{K})}} bağıntısını (h,k),(h^{*},k^{*})\in{(H\times{K})\times{(H\times{K})}} olmak üzere aşağıdaki biçimde tanımlayalım:

(h,k)R(h^{*},k^{*})\Leftrightarrow{hk=h^{*}k^{*}}

I) \forall{(h,k)}\in{H\times{K}}, hk=hk olduğundan (h,k)R(h,k), yani R yansıyan,

II) (h,k)R(h^{*},k^{*})\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}}\Rightarrow{h^{*}k^{*}=hk}\Rightarrow{(h^{*},k^{*})R(h,k)} olduğundan R simetrik,

III) (h,k)R(h^{*},k^{*})\land{(h^{*},k^{*})R(h',k')}\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}\land{h^{*}k^{*}=h'k'}}\Rightarrow{hk=h'k'} \Rightarrow{(h,k)R(h',k')} olduğundan R geçişkendir.

O halde R bir denklik bağıntısıdır. R=\sim ile gösterelim. Açıktır ki,

(h,k)\sim{(h^{*},k^{*})}\Leftrightarrow{h^{-1}h^{*}=k(k^{*})^{-1}}

sağlanır.

X=\{\overline{(h,k)}\text{ }|\text{ }(h,k)\in{H\times{K}}\} tanımlayalım. X kümesi, \sim denklik bağıntısının denklik sınıflarının kümesidir.

f:X\rightarrow{HK} fonksiyonunu, \forall{\overline{(h,k)}}, f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=hk olarak tanımlayalım. Önce bu fonksiyonun iyi tanımlı olduğunu gösterelim:

\overline{(h,k)}=\overline{(h^{*},k^{*})} olsun. O halde

(h,k)\sim{(h^{*},k^{*})}\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}}\Rightarrow{f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=f\Big{(}\overline{(h^{*},k^{*})}\Big{)}} olduğundan f iyi tanımlıdır.

Şimdi f’in birebir olduğunu gösterelim. \overline{(h,k)},\overline{(h^{*},k^{*})}\in{X} olmak üzere f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=f\Big{(}\overline{(h^{*},k^{*})}\Big{)} olsun. O halde

hk=h^{*}k^{*}\Rightarrow{(h,k)\sim{(h^{*},k^{*})}}\Rightarrow{\overline{(h,k)}=\overline{(h^{*},k^{*})}} olduğundan f birebirdir.

Son olarak f’in örten olduğunu gösterelim:

y\in{HK} olsun. O halde \exists{h}\in{H}\text{ ve }\exists{k}\in{K}: y=hk. Dolayısıyla f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=hk=y olduğundan f örtendir.

Buna göre \sim bağıntısının farklı denklik sınıflarının sayısı HK’nın mertebesine eşittir.

\overline{(h,k)}\in{X} keyfi sabitlenmiş bir denklik sınıfı olsun.

g:\overline{(h,k)}\rightarrow{H\cap{K}} fonksiyonunu, \forall{(h^{*},k^{*})}\in{\overline{(h,k)}}, g\Big{(}(h^{*},k^{*})\Big{)}=h^{-1}h^{*} olarak tanımlayalım. h,h^{*}\in{H} ve H bir altgrup olduğundan h^{-1}h^{*}\in{H}. Öte yandan (h^{*},k^{*})\in{\overline{(h,k)}}\Rightarrow{(h^{*},k^{*})\sim{(h,k)}}\Rightarrow{h^{-1}h^{*}=k(k^{*})^{-1}}, k,k^{*}\in{K} ve K bir altgrup olduğundan k(k^{*})^{-1}\in{K}’dır. Dolayısıyla h^{-1}h^{*}\in{H\cap{K}}, yani:

g:\overline{(h,k)}\rightarrow{H\cap{K}} iyi tanımlıdır.

Şimdi g’nin birebir olduğunu gösterelim:

(h^{*},k^{*}),(h',k')\in{\overline{(h,k)}} için g\Big{(}(h^{*},k^{*})\Big{)}=g\Big{(}(h',k')\Big{)}= olsun. O halde h^{-1}h^{*}=h^{-1}h'. Grupta sadeleşme özelliği var olduğundan h^{*}=h'. Öte yandan (h^{*},k^{*}),(h',k')\in{\overline{(h,k)}} olduğundan (h^{*},k^{*})\sim{(h,k)} ve (h',k')\sim{(h,k)}, yani, h^{-1}h^{*}=k(k^{*})^{-1} ve h^{-1}h'=k(k')^{-1} yazabiliriz. Buradan da h^{*}=h' olduğunu kullanarak k(k^{*})^{-1}=k(k')^{-1} olduğunu elde ederiz. Sadeleşme özelliğinden k^{*}=k' bulunur ki, bu da (h^{*},k^{*})=(h',k') olduğunu gösterir. Dolayısıyla g birebirdir.

Şimdi g’nin örten olduğunu gösterelim:

y\in{H\cap{K}} olsun. h^{*}=hy seçersek H bir altgrup ve h,y\in{H} olduğundan h^{*}\in{H} olur. k^{*}=y^{-1}k seçersek benzer sebeplerden k^{*}\in{K} olur ve dolayısıyla (h^{*},k^{*})\in{H\times{K}} elde edilir. Ayrıca h^{-1}h^{*}=h^{-1}hy=y=kk^{-1}y=k(y^{-1}k)^{-1}=k(k^{*})^{-1} olduğundan (h^{*},k^{*})\sim{(h,k)}, yani, (h^{*},k^{*})\in{\overline{(h,k)}} olur. Sonuç olarak g\Big{(}(h^{*},k^{*})\Big{)}=h^{-1}h^{*}=h^{-1}hy=y olduğundan g örtendir. Bu da gösterir ki \forall(h,k)\in{H\times{K}}, \overline{(h,k)} kümesi ile H\cap{K} kümesinin eleman sayıları aynıdır.

İspatı sonlandırmak için bu denklik bağıntısının denklik sınıflarının ayrık olduğunu ve bu denklik sınıflarının birleşiminin H\times{K} olduğunu kullanalım:

H ve K sonlu olduğundan H\times{K}, H\cap{K} ve \forall(h,k)\in{H\times{K}}, \overline{(h,k)} kümeleri sonludur. \sim bağıntısının ayrık denklik sınıflarının hepsinden bir eleman seçelim. bu elemanları (h_{1},k_{1}),(h_{2},k_{2}),\dots,(h_{n},k_{n}) ile gösterelim. Buradan görülüyor ki n=|X|=|HK|. Açıktır ki,

\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{n}\overline{(h_{i},k_{i})}=H\times{K}}

dır. O halde

\displaystyle{|H||K|=|H\times{K}|=|\bigcup_{i=1}^{n}\overline{(h_{i},k_{i})}|=\sum_{i=1}^{n}|\overline{(h_{i},k_{i})}|=\sum_{i=1}^{n}|H\cap{K}|=|H\cap{K}|\sum_{i=1}^{n}1}

=|H\cap{K}|n=|H\cap{K}||HK|

ve nihayet elde ederiz ki:

\displaystyle{|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap{K}|}}

Bu ispat Ufuk Kaya’ya aittir. Lütfen kullandığınız yerde telif hakkının sitemize ait olduğunu belirtiniz.

]]> http://www.akademikmatematik.com/problem-cozumleri/iki-altgrubun-carpiminin-mertebesi.html/feed 0