Reel Sayılar

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı \mathbb{R} kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} için \left( x,y \right)\to x+y\in \mathbb{R} şeklinde tanımlı +:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

I{{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a+b=b+a,

I{{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a+(b+c)=(a+b)+c,

I{{}_{3}}.\,\exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in \mathbb{R},a+0=a (0’a toplamaya göre sıfır veya etkisiz eleman denir),

I{{}_{4}}.\,\forall a\in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R}:a+b=0 (b’ye a’nın toplamaya göre tersi denir).

Üzerinde {{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}},{{I}_{4}}  özelliklerini sağlayan \left( X,+ \right) ikilisine bir değişmeli toplamsal grup (veya Abel grubu) denir. O halde, \left( \mathbb{R},+ \right) bir değişmeli toplamsal gruptur.

II. ÇARPMA AKSİYOMLARI:

Her \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} için \left( x,y \right)\to x\cdot y\in \mathbb{R} şeklinde tanımlı \cdot :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

II{{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a\cdot b=b\cdot a,

II{{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,

II{{}_{3}}.\,\exists 1\in \mathbb{R}:\forall a\in \mathbb{R},a\cdot 1=a (1’e çarpmaya göre birim eleman denir),

II{{}_{4}}.\,\forall a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\exists b\in \mathbb{R},a\cdot b=1 (b elemanına a’nın çarpmaya göre tersi denir).

a ve b elemanlarının çarpımı, çoğu zaman a\cdot{b} yerine ab ile gösterilir.

III. ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

Her a,b,c\in \mathbb{R} için (a+b)\cdot c=ac+bc.

Üzerinde I, II, III özelliklerini sağlayan (X,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir. O halde (\mathbb{R},+,\cdot) bir cisimdir.

IV. SIRALAMA AKSİYOMLARI:

\mathbb{R} üzerinde "<" bağıntısı verilmiştir ve a\ne b olan herhangi a,b\in \mathbb{R} için a<b ve b<a önermelerinden bir ve yalnız biri doğrudur. Bu durumda a\le b\Leftrightarrow a<b veya a=b olarak tanımlanır. Ayrıca "<" bağıntısı aşağıdaki özellikleri sağlar:

IV{{}_{1}}.\,a<b ve b<c\Rightarrow a<c,

IV{{}_{2}}.\,a<b\Rightarrow \,\forall c\in \mathbb{R},\,a+c<b+c,

IV{{}_{3}}.\,a<b ve 0<c\Rightarrow \,ac<bc.

Bu özelliklere göre "\le" bir tam sıralama bağıntısıdır.

V. TAMLIK AKSİYOMU:

\mathbb{R}’nin boş olmayan A ve B alt kümeleri \forall a\in A ve \forall b\in B için a\le b eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, \forall a\in A ve \forall b\in B için a\le c\le b olacak şekilde c\in \mathbb{R} elemanı vardır.

Reel sayıların diğer tüm özellikleri I, II, III, IV, V aksiyomlarından ispatlanabilir. Bu özelliklerden bir kısmını bir teorem olarak verelim:

TEOREM1:

1. \mathbb{R}'de toplamaya göre sıfır elemanı tektir.

2. \mathbb{R}'de her elemanın toplamsal tersi tektir. (Her bir a\in \mathbb{R} elemanının toplamaya göre tersi -a ile, a+\left( -b \right)=a-b ile gösterilir)

3. \forall a,b\in \mathbb{R} için x+a=b denkleminin tek bir x=b+(-a)=b-a çözümü vardır.

4. \mathbb{R}’de çarpmaya göre birim eleman tektir.

5. Her a\ne 0 sayısının çarpmaya göre tersi tektir. (ab=1 ise \displaystyle{b={{a}^{-1}}=\frac{1}{a}} olarak , a,b\in R ve b\ne 0 için \displaystyle{a{{b}^{-1}}=a\cdot\frac{1}{b}=\frac{a}{b}} olarak gösterilir)

6.  \forall a,b\in \mathbb{R}\,(a\ne 0) için  a\cdot x=b denkleminin tek bir  \displaystyle{x=b\cdot {{a}^{-1}}=b\cdot \frac{1}{a}=\frac{b}{a}} çözümü vardır.

7. Her  a\in \mathbb{R} için  a\cdot 0=0.

8.  a\cdot b=0\,\Rightarrow \,a=0\,\,\text{veya}\,\,b=0.

9. Her  a\in \mathbb{R} için  (-1)\cdot a=-a.

10. Her  a\in \mathbb{R} için  (-1)\cdot (-a)=a.

11. Her  a\in \mathbb{R} için  (-a)\cdot (-a)=a\cdot a={{a}^{2}}.

12. Herhangi  a,b\in \mathbb{R} için

 a<b\wedge b\le c\Rightarrow a<c,

 a\le b\wedge b<c\Rightarrow a<c.

13. Herhangi  a,b,c,d\in \mathbb{R} için

 0<a\Rightarrow -a<0,

 a\le b\wedge c\le d\Rightarrow a+c\le b+d,

 a\le b\wedge c<d\Rightarrow a+c<b+d.

14.  a,b,c\in \mathbb{R} olmak üzere

 0<a\wedge 0<b\Rightarrow 0<ab,

 a<0\wedge 0<b\Rightarrow ab<0,

 a<0\wedge b<0\Rightarrow 0<ab,

 a<b\wedge c<0\Rightarrow bc<ac.

15.  0<a\Rightarrow 0<{{a}^{-1}}.

16.  0<a\wedge a<b\Rightarrow 0<{{b}^{-1}}\wedge {{b}^{-1}}<{{a}^{-1}}.

İSPAT:

 0<a (veya  a>0) eşitsizliğini sağlayan sayılara pozitif,  a<0 sayılara ise negatif sayılar denir, sırasıyla  {{\mathbb{R}}^{+}}=\left\{ x\in \mathbb{R}\:|\:x>0 \right\} ve  {{\mathbb{R}}^{-}}=\left\{ x\in \mathbb{R}\:|\:x<0 \right\} ile gösterilir.

TANIM2: Boş olmayan bir  X\subset{\mathbb{R}} kümesi verilsin.

i) Her  x\in X için  x\le b olacak biçimde bir  b\in \mathbb{R} sayısı varsa,  X kümesine üstten sınırlıdır denir ve  b sayısına da  X kümesinin bir üst sınırı denir.

ii) Her  x\in X için  a\le x olacak biçimde bir  a\in \mathbb{R} sayısı varsa,  X kümesine alttan sınırlıdır denir ve  a sayısına da  X kümesinin bir alt sınırı denir.

iii)  X hem alttan ve hem de üstten sınırlı ise, yani her  x\in X için  a\le x\le b olacak şekilde  a ve  b sayıları varsa,  X'e sınırlı küme denir.

iv) Her  x\in X için  x\le M olacak şekilde bir  M\in X elemanı varsa,  M'ye  X kümesinin maksimum (veya en büyük) elemanı denir ve  M=\underset{x\in X}{\mathop{\max }}\,\left\{ x \right\} veya  M=\max \left\{ x|x\in X \right\} şeklinde gösterilir.

v) Her  x\in X için  m\le x olacak şekilde bir  m\in X elemanı varsa,  m'ye  X kümesinin minimum (veya en küçük) elemanı denir ve  m=\underset{x\in X}{\mathop{\min }}\,\left\{ x \right\} veya  m=\min \left\{ x|\,x\in X \right\} şeklinde gösterilir.

Örneğin  X=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,-1<x<1 \right\} kümesinin minimum veya maksimum elemanları yoktur. Fakat  Y=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,-1\le x\le 1 \right\} kümesinin minimum ve maksimum elemanları vardır ve sırasıyla  -1 ve  1 dir.

 X\subset \mathbb{R} alt kümesi üstten sınırlı olduğunda,

 B=\left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}

kümesi boş değildir. Benzer şekilde,  X\subset \mathbb{R} alt kümesi alttan sınırlı olduğunda,

 A=\left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}

kümesi boş değildir.

TANIM3:

(i)  X\subset{\mathbb{R}} alt kümesi üstten sınırlı ise  B=\left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\} kümesinin en küçük elemanına  X kümesinin en küçük üst sınırı denir ve  \sup{X} ile gösterilir.

(ii)  X\subset{\mathbb{R}} alt kümesi alttan sınırlı ise  A=\left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\} kümesinin en büyük elemanına  X kümesinin en büyük alt sınırı denir ve  \inf{X} ile gösterilir.

Bu tanıma göre,

 \sup{X}=\min \left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}

 \inf{X}=\max \left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}

dir.

 \mathbb{R}'nin her alt kümesinin maksimum ve minimumu yoktur. Peki supremum ve infimum için de aynı durum geçerli midir? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilebilir:

TEOREM2 (Üst Sınır Problemi):  \mathbb{R}'nin boştan farklı ve üstten sınırlı her alt kümesinin bir tek en küçük üst sınırı (supremumu) vardır. (Bu özelliğe supremum özelliği denir)

İSPAT:

Yukardaki teoreme benzer olarak aşağıdaki teorem ispatlanabilir:

TEOREM3 (Alt Sınır Problemi):  \mathbb{R}'nin boştan farklı ve alttan sınırlı her alt kümesinin bir tek en büyük alt sınırı (infimumu) vardır. (Bu özelliğe infimum özelliği denir)

TEOREM4:  \emptyset\ne{X}\subset{\mathbb{R}} ve  l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde aşağıdakiler doğrudur:

(i)  \sup{X}=L  \iff

(a)  \forall{x}\in{A}, x\le{L},

(b)  \forall{\varepsilon}>0,  \exists{x_{\varepsilon}}\in{X}:  L-\varepsilon<x_{\varepsilon}.

(ii)  \inf{X}=l  \iff

(a)  \forall{x}\in{X}, l\le{x},

(b)  \forall{\varepsilon}>0,  \exists{x_{\varepsilon}}\in{X}:  x_{\varepsilon}<l+\varepsilon.

İSPAT:

TANIM4:  a ve  b iki reel sayı ve  a<b olsun.  \left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a<x<b \right\} kümesine  a başlangıçlı  b bitimli açık aralık denir ve  \left( a,b \right) (veya  \left] a,b \right[) şeklinde gösterilir. Benzer olarak  \left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a\le x\le b \right\} kümesine  a başlangıçlı  b bitimli kapalı aralık denir ve  \left[ a,b \right] şeklinde gösterilir. Ayrıca yarı açık aralıklar aşağıdaki gibi tanımlanır:

 \left( a,b \right]=\left] a,b \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a<x\le b \right\}  a’da açık  b’de kapalı yarı açık aralık,

 \left[ a,b \right)=\left[ a,b \right[=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a\le x<b \right\}  a’da kapalı  b’de açık yarı açık aralık.

 a,b\in \mathbb{R} olmak üzere  (a,+\infty),  [a,+\infty),  (-\infty,b),  (-\infty,b] ve  (-\infty,+\infty) aralıkları aşağıdaki şekilde tanımlanır:

 (a,+\infty)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x>a \right\},

 [a,+\infty)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\ge a \right\},

 (-\infty,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x<b \right\},

 (-\infty,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\le b \right\},

 (-\infty,+\infty)=\mathbb{R}.

 \mathbb{R} reel sayılar kümesine  -\infty ve  +\infty ile gösterilen ve eksi sonsuz, artı sonsuz olarak okunan iki yeni sembolü ilave etmek suretiyle elde edilen  \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\} kümesine genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. Bu yeni tanımlanan kümenin aşağıdaki koşulları sağladığı kabul edilir:

1.  \forall x\in \mathbb{R} için,

a)  -\infty <x<+\infty,

b)  x-(+\infty )=x-\infty =-\infty,

c)  x+(+\infty )=x+\infty =+\infty,

d)  x-(-\infty )=x+\infty =+\infty,

2.

a)  +\infty +(+\infty )=+\infty,

b)  -\infty +(-\infty )=-\infty,

3.  \forall x\in {{\mathbb{R}}_{+}} için,

a)  x(+\infty )=+\infty,

b)  x(-\infty )=-\infty,

4.  \forall x\in {{\mathbb{R}}_{-}} için,

a)  x(+\infty )=-\infty,

b)  x(-\infty )=+\infty,

5.

a)  (+\infty )(+\infty )=+\infty,

b)  (-\infty )(-\infty )=+\infty,

c)  (+\infty )(-\infty )=-\infty,

6.  \forall x\in \mathbb{R} için,

a)  \displaystyle{\frac{x}{+\infty }=0},

b)  \displaystyle{\frac{x}{-\infty }=0}.

Boş olmayan  X\subset \overline{\mathbb{R}} alt kümesi verilsin. Eğer  X kümesi alttan sınırlı değilse  \inf X=-\infty, üstten sınırlı değilse  \sup X=+\infty gibi tanımlanır. Buna göre,  \overline{\mathbb{R}}’ın boş olmayan her alt kümesinin hem infimumu hem de supremumu vardır.

TANIM5:  x\in \mathbb{R} sayısının mutlak değeri (veya modülü) aşağıdaki gibi tanımlanır:

 |x|=\left\{ \begin{array}{l} {\:\:\:}x,\:\:x\ge{0}\\-x,\,x<0 \end{array} \right.

TEOREM5:

a)  \forall{x}\in{\mathbb{R}},  |-x|=|x|\ge{0},

b)  |x|=0\Leftrightarrow{x=0},

c)  \forall{x}\in{\mathbb{R}},  -x\le{|x|} ve  x\le{|x|},

d)  \forall{a,b}\in{\mathbb{R}},  |ab|=|a||b| ve  \displaystyle{\left| \frac{a}{b} \right| =\frac{|a|}{|b|}}  (b\ne{0}),

e)  \forall{a,b}\in{\mathbb{R}},  |a\pm{b}|\le{|a|+|b|},

f)  \forall{a,b}\in{\mathbb{R}},  \big| |a|-|b| \big| \le{|a-b|},

g)  |x|<r\Leftrightarrow{-r<x<r},

h)  |x|\le{r}\Leftrightarrow{-r\le{x}\le{r}},

i)  |x|>r\Leftrightarrow{x<-r\lor{x>r}},

j)  |x|\ge{r}\Leftrightarrow{x\le{-r}\lor{x\ge{r}}}.

İSPAT:

 a\in \mathbb{R} ve  b\in \mathbb{R} sayıları için  \left| a-b \right|=\left| b-a \right| sayısına  a ve  b noktaları arasındaki uzaklık (mesafe) denir ve  d\left( a,b \right) ile gösterilir.

 a,b\in \mathbb{R} ve  a<b olmak üzere  b-a>0 sayısına  (a,b),  [a,b),  (a,b] ve  [a,b] aralıklarının uzunluğu (veya boyu) denir.

3 yorum

  • gülsün

    w elemanı R+ yani pozitif reel sayı x elemam R yani reel sayı w*x elemem R+ yani pozitif reel sayı ise x eleman reel sayı ispatlayınız.bu soruda yardımcı olur musunuz

  • ben o ödevi çok çalışıyorum :)

  • figen

    merhaba.sitenizi şuan itibariyle arketmiş olup çok beğendim.gerçekten emeğinize sağlık.peki içeriğiniz sınırlı mı yada içeriğin nelerden oluştuğunu görme ihtimalimiz varmı ?artan azaln fonksiyonlar üzerine yazılarınız varmı ?teşekkür ederim...

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir