TEOREM: \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için \text{ } \displaystyle{\frac{n}{\varphi(n)}=\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} dir. Burada \mu:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z}, \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için

\mu(n)=\Bigg\{ 1 \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }, n=1 \text{ ise}\\(-1)^{k}, n=p_{1}p_{2}\dots{p_{k}} \text{ ise}\\0 \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }, \exists{p}\in{\mathbb{P}}: p^{2}|n \text{ ise}

Möbius fonksiyonu ve

\varphi:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z^{+}}, \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için \varphi(n)=\big{|}\{m\in\mathbb{Z^{+}}\text{ }|\text{ }(n,m)=1\land{m}\le{n}\}\big{|} Euler {\varphi} fonksiyonudur.

İspata geçmeden önce, sayılar teorisinde, Euler {\varphi} fonksiyonunun iyi bilinen iki özelliğini verelim:

ÖZELLİK1: \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için

\displaystyle{n=\sum_{d|n}\varphi(d)}

dir.

ÖZELLİK2: n>1 ve n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\dots{p_{k}^{n_{k}}} ise

\displaystyle{\varphi(n)=n \prod_{i=1}^{k}\left( 1-\frac{1}{p_{i}} \right)=n\left( 1-\frac{1}{p_{1}} \right)\left( 1-\frac{1}{p_{2}} \right)\dots{\left( 1-\frac{1}{p_{k}} \right)}}

dır. Şimdi ispata geçebiliriz:

İSPAT: n=1 ise \varphi(1)=1’dir. Diğer yandan,

\displaystyle{\sum_{d|1}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=\frac{\mu^{2}(1)}{\varphi(1)}=\frac{1}{1}=1}

olduğundan eşitlik sağlanır.

n>1 olsun. Önce \forall{p}\in{\mathbb{P}}, p^{2}\nmid{n} durumunda ispatı yapalım. Yani n sayısının tüm asal çarpanları farklı olsun. O halde n=p_{1}p_{2}\dots{p_{k}} biçiminde yazılabilir. Burada p_{1},p_{2},\dots,p_{k} farklı asallardır.

Şimdi d, n’in bir pozitif böleni olduğunda \displaystyle{\left( d,\frac{n}{d} \right)=1} olduğunu ispatlayalım.

d=1 veya d=n ise \displaystyle{\left( d,\frac{n}{d} \right)=1} olduğu açıktır.

1<d<n olsun. O halde n=p_{1}p_{2}\dots{p_{k}} olduğundan, d böleni p_{1},p_{2},\dots,p_{k} farklı asallarından bir kısmının çarpımı, \displaystyle{\frac{n}{d}} ise geri kalan farklı asalların çarpımı olmak zorundadır. O halde \displaystyle{\left( d,\frac{n}{d} \right)=1}’dir.

d, n’in bir pozitif bölen olsun. \forall{p}\in{\mathbb{P}}, p^{2}\nmid{n} olduğundan \forall{p}\in{\mathbb{P}}, p^{2}\nmid{d}’dir. O halde |\mu(d)|=1, yani \mu^{2}(d)=1’dir. Ayrıca \displaystyle{\left( d,\frac{n}{d} \right)=1} ve {\varphi} fonksiyonu çarpımsal olduğundan

\displaystyle{\varphi(n)=\varphi\left( d\text{ }\frac{n}{d} \right)=\varphi(d)\varphi\left( \frac{n}{d} \right)}, yani

\displaystyle{\frac{\varphi(n)}{\varphi(d)}=\varphi\left( \frac{n}{d} \right)}’dir.

O halde, Özellik1 ile

\displaystyle{\varphi(n)\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)\varphi(n)}{\varphi(d)}=\sum_{d|n}\frac{\varphi(n)}{\varphi(d)}=\sum_{d|n}\varphi\left( \frac{n}{d} \right)=\sum_{d|n}\varphi(d)=n}

Dolayısıyla, \forall{p}\in{\mathbb{P}}, p^{2}\nmid{n} olduğunda \text{ } \displaystyle{\frac{n}{\varphi(n)}=\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} sağlanır.

Şimdi genel durumda ispata geçelim: n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\dots{p_{k}^{n_{k}}} olsun. m=p_{1}p_{2}\dots{p_{k}} şeklinde bir sayı tanımlayalım. Açıktır ki m sayısının tüm asal çarpanları farklıdır. Yani, ispatın birinci kısmına uygun bir sayıdır. Bu sebeple,

\displaystyle{\frac{m}{\varphi(m)}=\sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} ya da

\displaystyle{m=\sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)\varphi(m)}{\varphi(d)}} sağlanır.

Şimdi, \displaystyle{\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=\sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} olduğunu gösterelim:

d, n’in bir böleni olsun. O halde d sayısı, p_{1},p_{2},\dots,p_{k} asal sayılarının çarpımından meydan gelir ve bu sayıların karesi, küpü ve daha fazla kuvveti de olabilir. Eğer \exists{i}=\overline{1,k}: p_{i}^{2}|d ise, yani, \exists{p_{i}}\in\{p_{1},p_{2},\dots,p_{k}\}: d=p_{i}^{2}a, (a\in{\mathbb{Z^{+}}}) ise \mu^{2}(d)=0’dır. Yani bu biçimde sayıların, \displaystyle{\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} toplamına hiçbir katkısı yoktur. O halde bu toplama sadece farklı asalların çarpımı olan d bölenlerinin katkısı vardır. Bu da m’in böleni demektir. Dolayısıyla:

\displaystyle{\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=\sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}}’dir.

Şimdi ispata son noktayı koymak için Özellik2′yi kullanalım:

\displaystyle{\varphi(n)\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=\varphi(n)\sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=n \prod_{i=1}^{k}\left( 1-\frac{1}{p_{i}} \right)\left( \sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)} \right)}

\displaystyle{=\frac{n}{m}m \prod_{i=1}^{k}\left( 1-\frac{1}{p_{i}} \right)\left( \sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)} \right)=\frac{n}{m} \varphi(m) \sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}=\frac{n}{m} \sum_{d|m}\frac{\mu^{2}(d)\varphi(m)}{\varphi(d)}=\frac{n}{m} m}

=n

İspat bitti. Bu ispat Ufuk KAYA’ya aittir. Lütfen bu ispatı kullandığınız yerde telif hakkının www.akademikmatematik.com adresine ait olduğunu belirtiniz.