Fonksiyonlar

READ THIS POST IN ENGLISH

Fonksiyonlar matematiğin en önemli kavramlarından biridir. Hatta o kadar önemlidir ki matematiğin tanımını "matematik kümeler arasındaki fonksiyonları inceleyen bilim dalıdır" şeklinde yapanlar vardır. Tabiki bu tanım doğru değildir. Fakat fonksiyonların ne derece önemli olduğunu belirtmek için böyle bir örnek verdim. Matematik uzaktan bir su birikintisine benzer. Yanına gelirsin göl olur. İçine girersin deniz olur. Ve açılırsın okyanus olur.

TANIM1:  X ve  Y iki küme,  f\subset{X\times{Y}} bir bağıntı olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa  f bağıntısına bir fonksiyon denir:

1.  \forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{Y}: (x,y)\in{f},

2.  (x,y),(x,y')\in{f}\Rightarrow{y=y'}.

» Devamını Oku

Denklik Bağıntısı

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  X bir küme  R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer  R, yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise  R'ye bir denklik bağıntısı denir ve genelde  R=\sim biçiminde gösterilir.

TANIM2:  \sim,  X üzerinde bir denklik bağıntısı,  a\in{X} olsun.  \overline{a}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }a\sim{x}\}\subset{X} kümesine  a'nın denklik sınıfı denir.  a'nın denklik sınıfı bazı kaynaklarda  [a]_{\sim} olarak da gösterilir.  \forall{a}\in{X},  a\in{\overline{a}} olduğundan  \overline{a}\ne{\emptyset}'dir.

TANIM3:  \sim,  X üzerinde bir denklik bağıntısı,  a,b\in{X} olsun. Eğer  b\in{\overline{a}} ise  b'ye  \overline{a} sınıfının bir temsilcisi denir.

ÖNERME1:  \sim,  X üzerinde bir denklik bağıntısı,  a,b\in{X} olsun. Bu taktirde:

» Devamını Oku

Kısmi Sıralama Bağıntısı

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  X bir küme  R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer  R, yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise  R'ye bir "kısmi sıralama bağıntısı" denir ve genelde  R=\le biçiminde gösterilir.  \le,  X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise  (X,\le) ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM2:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  x,y\in{X} olsun. Eğer  x\le{y}\lor{y\le{x}} önermesi doğru ise  x ve  y elemanlarına karşılaştırılabilir denir.

TANIM3:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer,  \forall{x,y\in{X}},  x ve  y karşılaştırılabilir ise  (X,\le)'ye tam sıralı küme denir.

TANIM4:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X} olsun. Eğer  (A,\le) tam sıralı bir küme ise  A'ya  X'de bir zincir denir.

» Devamını Oku

Bağıntılar

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  X ve  Y iki küme olsun.  X\times Y'nin herhangi bir alt kümesine  X'den  Y'ye bir bağıntı denir. Bazı kaynaklarda bağıntının tanımı verilirken  X,Y\ne\emptyset olarak verilir ve  X\times Y'nin boştan farklı herhangi bir alt kümesine bağıntı denir. Yani  \emptyset bir bağıntı olarak kabul edilmez. Halbuki boşkümenin bir bağıntı olması matematiğin herhangi bir dalına herhangi bir problem yaratmaz. Aksine, boşkümenin bir bağıntı olarak kabul edilmesi topos teoride çok önemli bir rol oynar.

 X, n elemanlı,  Y, m elemanlı kümeler ise  X\times Y, n.m elemanlı bir kümedir.  X'den  Y'ye bir bağıntı aynı zamanda  \mathbf{P}(X\times Y)'nin bir elemanı olduğundan  X'den  Y'ye tüm bağıntıların sayısı  2^{n.m}'dir.  X ve  Y boş olmayan kümeler ve en az biri sonsuz elemanlı ise  X'den  Y'ye tüm bağıntıların kümesi de sonsuz elemanlıdır.

 R\subset{X\times{Y}} boştan farklı bir bağıntı olsun.  (x,y)\in{R} ise  x'e  R bağıntısına göre  y'ye bağlıdır denir. Bu durum  (x,y)\in{R},  xRy ya da  R(x)=y gösterimleriyle gösterilir.

ÖRNEK1:  X=\{a,b,c\}, Y=\{1,2\} olsun.  X, 3 elemanlı,  Y, 2 elemanlı küme olduğundan  X'den  Y'ye  2^{2.3}=2^{6}=64 bağıntı vardır. Bunlardan birkaç tanesini verelim:

» Devamını Oku

İndis Kümesi

READ THIS POST IN ENGLISH

 X bir küme olsun.  X ile eşgüçlü olan herhangi bir kümeye  X'in bir indis kümesi denir. Yani  X ile arasında birebir örten bir fonksiyon bulunan bir kümeye  X'in bir indis kümesi denir. Tanımından da anlaşılacağı gibi bir kümenin indis kümesi birden fazla, hatta sonsuz tane olabilir. Ayrıca yine tanımından söyleyebiliriz ki: her kümenin en az bir indis kümesi vardır. Çünkü en azından  I:X \to X birim fonksiyonu birebir örtendir. Bir kümenin indis kümesini bulmaya o kümenin indislenmesi denir. Eğer her kümeyi kendisi ile indisleseydik sizin de düşündüğünüz gibi indis kümesi kavramının bir anlamı kalmazdı. Bunu bir örnekle açıklayalım.  X=\{ \diamondsuit, \heartsuit, \clubsuit, \spadesuit \} olsun. Bu küme için 3 indis kümesi verelim. Birincisini  I_1=X, ikincisini  I_2=\{1,2,3,4\} ve üçüncüsünü ise  I_3=\{a,b,c,d\} olarak alalım (Tabiki çok daha fazla örnek verilebilir). Burada matematikçilerin en çok kullandığı indis kümesi  I_2'dir. Çünkü bu indis kümesi  X'in elemanlarını teker teker sayıyor. Burada 4 elemanlı bir küme verdiğimizden dolayı  I_2'yi kullandık. Genelde  n elemanlı bir küme için en uygun indis kümesi  I=\{1,2,\cdots,n\} olarak alınır. İndis kümesi kümenin kardinalitesiyle direk alakalı birşeydir. Eşgüçlülük herhangi bir kümeler ailesi üzerinde bir denklik bağıntısı olduğundan, indis kümesi aslında bir kümenin denklik sınıfının en uygun sınıf temsilcisi olarak düşünülebilir. Örneğin sayılabilir kümelerin en uygun indis kümesi tabiki  \mathbb{N}'dir. Reel sayılar ile eşgüçlü bir kümenin indis kümesi olarak,  \mathbb{R},  [0,1], ya da  (0,1) kümelerinin kullanılması yaygındır.

Russell Paradoksu

READ THIS POST IN ENGLISH

19. yüzyılın sonlarına kadar matematikçiler herhangi nesnelerin topluluğuna küme demişlerdir. Doğal sayılar kümesi, Reel sayılar kümesi, Çift sayılar kümesi, Kümelerin kümesi, Tüm kümelerin kümesi, bunu çok fazla örnekle pekiştirmek mümkün. O zamana kadar tüm matematikçiler küme olmanın tek şartının sadece nesnelerin bir araya gelmesi olduğuna inanmışlar ve bundan en ufak bir şüphe duymamışlardır. Ta ki Bertrand Russell'ın paradoksu ortaya çıkana kadar. Russell, küme için "herhangi nesnelerin topluğuna küme adı verilir" şeklinde bir tanım verildiğinde, kümeler kuramının bir paradoksa sürüklendiğini ispatlamıştır. Şimdi Russell paradoksunu inceleyelim. Varsayalım ki herhangi nesnelerin topluluğuna küme denir. O halde tüm kümelerin oluşturduğu topluluk da bir kümedir. Bu kümeye  X diyelim. Buna göre bütün kümeler  X'in elemanıdır. Yani  A herhangi bir kümeyse  A \in{X}'tir.  X de bir küme olduğuna göre  X \in{X}'tir. Şimdi, bu  X kümesinin bir alt kümesini inşa edelim.  Y=\{A \in{X}\text{ }\vert\text{ }A \notin{A} \} olsun. Çelişkiye doğru adım adım ilerliyoruz. Acaba  Y \in{Y} ya da  Y \notin{Y} önermelerinden hangisi doğrudur. Şimdi, varsayalım ki  Y \in{Y} doğrudur. O halde  Y'nin elemanları kendisinin elemanı olmayan kümeler olduğundan  Y \notin{Y} doğru olur. Tersine  Y \notin{Y} varsayalım. O halde  Y tanıma göre  Y'nin elemanıdır. Yani  Y \in{Y}. Buradan şöyle bir sonuca varılır.

 Y \in{Y} \Leftrightarrow Y \notin{Y}.

» Devamını Oku

Kümeler

READ THIS POST IN ENGLISH

Küme kavramı matematiğin en temel kavramlarından biridir. Fakat buna rağmen otoritelerce kabul edilmiş bir tanımı yoktur. Bazı kaynaklar kümeyi “belirli özelliğe sahip olan nesnelerin topluluğu” olarak tanımlar. Bu tanım her ne kadar yaygın olsa da eksiklikleri vardır. Birincisi burada “nesne” diye adlandırılan şeyin ne olduğu belli değildir. İkinci olarak “belirli özelliğe sahip” demek yanlış olabilir. Çünkü öyle bir küme örneği verilebilir ki o kümedeki nesne’ler belirli bir özelliğe sahip değildir. Üçüncüsü ise Russell paradoksu. Russell küme kavramı üzerine koşullar konulmayınca bir paradoksun oluştuğunu ispatlamıştır. Küme kavramının tanımı üzerine ne kadar konuşsak da bu kavramın tanımını veremeyeceğimizden burada bu bahsi kapayıp kümeleri tanıtmaya başlayalım.

Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin “elemanları” denir. Kümeler genelde  A,  B,  C,  X,  Y gibi büyük harflerle, kümenin elemanları ise  a,  b,  c,  x,  y gibi küçük harflerle gösterilir. Eğer  a,  A kümesinin elemanı ise bu durumu  a\in A ile, elemanı değilse bu durumu da  a\notin A ile göstereceğiz. Kümelerin 3 çeşit gösterimi vardır.

1. Liste Yöntemi ile Gösterim: Bu gösterimde kümenin elemanları küme parantezi içinde, aralarına virgül koyularak gösterilir ve bir eleman bir defadan fazla yazılmaz. Örnek olarak  A=\{a,b,c,d,e\} verilebilir.

2. Venn Şeması ile Gösterim: Bu gösterimde kümenin elemanları bir yuvarlak (dikdörtgen de olabilir) içine yazılır. Az önceki  A=\{a,b,c,d,e\} kümesini Venn şeması ile gösterelim:

» Devamını Oku

Merhaba dünya!

Sayfamıza hoşgeldiniz, 07/07/2009 itibariyle yayınımıza başladık projemiz sağlam temelller üzerine kuruldu, akademik matematik alanında ilk ve tek proje olması özelliği ile siz kullanıcılarımıza destek verecektir.

Sizlerinde katkılarıyla en büyük Türkçe akademik matematik sitesi olma yolunda ilerleyeceğiz.

Matematiği bir yaşam tarzı, düşünce biçimine dönüştürecek olan bu site sizlere merhaba diyor.

Sevgiyle kalın...

1 2 3