Euler phi Fonksiyonunun Bir Özelliği

TEOREM:  \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için  \text{ }  \displaystyle{\frac{n}{\varphi(n)}=\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} dir. Burada  \mu:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z},  \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için

 \mu(n)=\left\{ \begin{array}{l} 1 \qquad ,n=1\\ (-1)^{k}, n=p_{1}p_{2}\dots p_{k}\\0 \qquad ,\exists{p\in{\mathbb{P}}}: p^{2}|n \end{array} \right.

Möbius fonksiyonu ve

 \varphi:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z^{+}},  \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için  \varphi(n)=\big{|}\{m\in\mathbb{Z^{+}}\text{ }|\text{ }(n,m)=1\land{m}\le{n}\}\big{|} Euler  \varphi fonksiyonudur.

İspata geçmeden önce, sayılar teorisinde, Euler  \varphi fonksiyonunun iyi bilinen iki özelliğini verelim:

» Devamını Oku

İki Altgrubun Çarpımının Mertebesi

TEOREM:  G bir grup,  H ve  K,  G'nin iki sonlu altgrubu olsun. Bu takdirde,  \displaystyle{|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap{K}|}} dır.

İSPAT:  R\subset{(H\times{K})\times{(H\times{K})}} bağıntısını  (h,k),(h^{*},k^{*})\in{(H\times{K})\times{(H\times{K})}} olmak üzere aşağıdaki biçimde tanımlayalım:

 (h,k)R(h^{*},k^{*})\Leftrightarrow{hk=h^{*}k^{*}}

I)  \forall{(h,k)}\in{H\times{K}}, hk=hk olduğundan  (h,k)R(h,k), yani  R yansıyan,

II)  (h,k)R(h^{*},k^{*})\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}}\Rightarrow{h^{*}k^{*}=hk}\Rightarrow{(h^{*},k^{*})R(h,k)} olduğundan  R simetrik,

» Devamını Oku

lp Uzayları ile Sınırlı Diziler Uzayındaki Normların İlişkisi

ÖNERME:  1\le{p^{*}}<+\infty olmak üzere  x=(x_{n})\in{l_{p^{*}}} olsun. Bu takdirde,

 \displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}}

dur. Burada  \displaystyle{\|x\|_{p}=\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\bigg{)}^\frac{1}{p}} ve  \displaystyle{\|x\|_{\infty}=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|} dir.

Bu önermenin ispatını yapmadan önce birkaç lemma ispatlamamız gerekmektedir.

LEMMA1:  1\le{p}<+\infty ve  x=(x_{n})\in{l_{p}} olsun. Bu takdirde  x=(x_{n})\in{l_{\infty}}'dur ve

» Devamını Oku

Lineer Kombinasyonlar

TANIM1:  X bir  K- vektör uzayı,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere,

 c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}

toplamına  x_{1},x_{2},\dots,x_{n} elemanlarının bir lineer kombinasyonu ya da sonlu lineer kombinasyonu denir.

TANIM2:  X bir  K- vektör uzayı,  \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun.  A'nın tüm sonlu lineer kombinasyonlarının kümesine  A ile üretilen uzay denir ve  \text{lin}A ile gösterilir. Buna göre,

 \displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, x_{k}\in{A}, 1\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\bigg\}}

» Devamını Oku

e sayısının ilk 2 milyon basamağı

e sayısının ilk 2 milyon basamağı

e sayisi Aşağıda e sayısının ilk 2 milyon hanesi vardır.Aslında
2 milyondan biraz fazla rakam var burada.Bu rakamları Robert
Nemiroff (George Mason Üniversitesi ve NASA Goddard Space Flight Center) ve
Jerry Bonnell (Üniversite Uzay Araştırma Derneği ve NASA kontrol
Goddard Space Flight Center) hesaplamıştır.

Bir VAX üzerinde boş zamanlarında hesaplamışlardır.Biz bu sayının doğru olduğunu garanti etmiyoruz.Her ne kadar bu rakamı biz birden fazla kontrol etmişsekte.Sizlerinde incelemenizi öneririz.Biz bu sayının n basamaklı olduğuna inanıyoruz.

Bu 2 milyon hanenin doğum tarihi 1 Mayıs 1994 'tür.Bilgisayar yardımı ile
hesaplanmıştır.Robert Nemiroff ve Jerry Bonnell hane sayısını
5 miyona çıkarmayı düşünüyor.
Yorumlarınızı bekliyoruz.


e = 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966

» Devamını Oku

Paul Erdös - Renkli Bir O Kadarda İlginç Matematikçi

akademikmatematik paul erdosPaul Erdös (26 Mart 1913 - 20 Eylül 1996) üretken bir matematikçidir.Yüzlerce matematikçiyle Kombinatorik, Çizge Teorisi, Sayılar Teorisi, Klasik Analiz, Yaklaşıklık Teorisi, Kümeler Teorisi ve Olasılık Teorisi alanlarında ortak çalışmalar yapmış şahsiyet sahibi biridir.

20. yüzyılın en üretken matematikçilerinden olan Paul Erdös 'ün amfetamin haplarıyla gününün 20 saatini matematik için harcadığı söylenir. Soyadı İngilizce "Airdish"  şeklinde okunur.

"n bir pozitif tamsayı olmak üzere n ile 2n arasında mutlaka bir asal sayı vardır." şeklindeki teoremi kolay yoldan ispatlaması kendi deyişiyle "Kazma kürekle yapılan işi, kaşıkla yapmak." sayesinde genç yaşta ünlenmiştir.

Doğrudan kitaptan şeklinde komik geçişleri vardır.Tamamlanmamış bir çekmece makalesi daha vardır.Durmadan yolculuk yapıp değişik dahi matematikçilerle tanışmayı iş edinmiştir ki bu yüzden bazı matematiçilerin Erdös Sayısı vardir.

Budapeşte, Macaristan'da Pál Erdős (Er-döş), Musevi bir ailenin çocuğu olarak dünyaya gelmiştir. Dönemin Budapeşte musevileri Erdös dışında en az beş önemli düşünür daha yetiştirmiştir.

» Devamını Oku

Augustin Louis Baron Cauchy

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857)

Augustin Louis Baron Cauchy, 21 Ağustos 1789 Paris'te doğdu / 23 Mayıs 1857 Sceaux'de öldü) ilk büyük Fransız matematikçisi.İhtilal çocuğu eşitliğe özgürlüğe olan borcunu yoksulluk içinde büyüyerek ödedi. Yarı açlık içinde ; babasının iş bilmesi ve aklını kullanması sayesinde yaşadı.

Arcueil köyünde matematikçi Laplace ve kimyacı olan Berthollet kapı komşuydular.  Berthollet bencil bir insan ve kendini beğenmiş birisiydi. Laplace biraz daha alçak gönüllüydü. Bir gün fakir komşusunun evine gitti. İyi beslenmemiş, kitaplar ve defterler içinde cezalı bir çocuk gibi gömülmüş zayıf  Cauchy 'yi görünce hayrete düştü. Az zamanda ondaki matematik yeteneğini anladı.Birkaç yıl sonra aynı Laplace, Cauchy 'nin seriler hakkındaki konferanslarını dinlemeye çağrıldığı zaman, serilerin yakınsaklığı hakkındaki keşiflerinin, kendi gök mekaniği inşasının yıkılmasından korkuyordu.Ya kendi serileri ıraksaksa diye düşünüyordu. Bu korku ve heyecanla konferanstan sonra eve geldi ve hesaplarının tümünü teker teker gözden geçirdi. Hemen hemen küresel olan yerkürenin yörüngesi biraz daha eliptik olsaydı, Laplace'ın dayandığı seri de ıraksak olacaktı.Neyse ki, Laplace'ın, korktuğu başına gelmedi ve rahat bir nefes aldı. Laplace, kendi serilerinin yakınsaklıklarını Cauchy'nin yakınsaklık ölçütleriyle teker teker kontrol ettikten sonra ancak aklı başına geldi. Laplace tehlikeyi görmüş ve daha önce oldukça dikkatsiz adımlar atmıştı ne var ki  Cauchy'nin ölçütleri onu rahatlatmıştı.

1814 yılında, karmaşık fonksiyonlar kuramını geliştirdi. Bugün, Cauchy Teoremi adıyla bilinen ünlü teoremi ifade ederek ispatladı.Bu alanda integraller ve bunların hesaplama yöntemleri yine Cauchy tarafından verildi. Bu alandaki  eseri ancak 1827 yılında basılabildi...

1816 yılında sıvılar üzerinde dalgaların yayılmasının kuramını içeren yaptıyla Akademi ödülünü aldı. 1815 yılında Fransa Polytechnique ’te analiz öğretmeni ve profesör oldu. Sorbonne'a ve College de France'a girdi. Her işte başarılı oluyordu. Akademiye haftada iki çalışma sunuyordu. Geliştirdiği ve yaptığı çalışmaları öğrenmek için Avrupa’nın her yanından matematikçiler geliyordu. 1816 yılında Akademiye başkan seçildi.1816 yılından itibaren cebir ve mekanik dersleri vermeye başladı. 1830 devriminden sonra bağlılık andını kabul etmediği için görevinden ayrıldı ve Torino'ya giderek kendisi için açılan matematik kürsüsünde çalışmaya başladı.

1833'te Bordeaux Dükü'nün fen eğitimini yönetmek üzere Prag'a çağrıldı. 1838'de Paris'e döndü. Paris Fen Fakültesi matematiksel gökbilim profesörlüğüne atandı ve 1852 yılına dek bu görevine devam etti. Cauchy, saf ve uygulamalı matematiğin bütün bölümleriyle ilgilendi. Ama tarihe çözümleme üstüne yaptığı çalışmalarla geçti. 1821'de yayımlanan Cours D’analyse adlı kitabında çözümlemenin ana ilkelerini gözden geçirdi ve bunları yapıcı bir biçimde eleştirdi böylece elementer fonksiyonların ve serilerin incelenmesine kesinlik kazandırdı.

» Devamını Oku

Vektör Uzayları

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  K en az iki elemanlı bir küme,  +:K\times{K}\rightarrow{K} ve  \cdot:K\times{K}\rightarrow{K} iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa  (K,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir:

F1)  \forall{a,b,c}\in{K}, (a+b)+c=a+(b+c),

F2)  \forall{a,b}\in{K}, a+b=b+a,

F3)  \exists{0}\in{K}: \forall{a}\in{K}, a+0=a,

» Devamını Oku

TMD İnteraktif Matematik Terimleri Sözlüğü

TMD İnteraktif Matematik Terimleri Sözlüğü http://tmd2.org/sozluk/

Ülkemizde matematiğin akademik seviyelere yükselmesi, üstüne çıkması ile benzerlerine Amerikan bilim, makale sitelerinde rastlayabileceğimiz "Matematik Terimleri Sözlüğü" Türk Matematik Derneği tarafından siz değerli matematikçilerin kullanımına sunulmuştur...

Sizde girin bildiğiniz terimleri ekleyin.Doğal olarak editör onaylı çalışıyor yani hatalı bilgi vermeyin.

Sözlüğümüzün büyümesi dileği ile...

Cahit ARF - Büyük Türk Matematikçisi / Bilim İnsanı

Cahit Arf (1910 Selanik /26 Aralık 1997 İstanbul) Türk matematikçisi.Kendi adıyla bilinen matematik teorileri sayesinde dünya çapında tanınır.Matematik de resim, müzik ve heykel gibi bir sanattır diyerek matematiğin sanatsal yönünü ortaya koymuştur...Doktorasını yapmak için gittiği Almanya'da, matematikçi Helmut Hasse ile birlikte önemli çalışmalar yapmıştır. Bu çalışmalar sonunda matematikte Hasse-Arf Kuramı'nı geliştirdi. Arf değişmezi, Arf halkaları ve Arf kapanışları gibi kendi adıyla bilinen matematiksel terimleri bilim dünyasına kazandırdı.

Cahit Arf, cebir konusundaki çalışmalarıyla tüm bilim çevrelerince tanınmıştır. Sakademikmatematikentetik geometri problemlerinin cetvel ve pergel yardımıyla çözülebileceği konusundaki yaptığı çalışmalar, cisimlerin kuadratik formlarının sınıflandırılmasında ortaya çıkan değişmezlere ilişkin "Arf Değişmezi" ve "Arf Halkaları" gibi kendi adıyla anılan çalışmaları matematik dünyasının ünlü matematikçileri arasında yer almasını sağladı."Arf Halkaları, Arf Değişmezleri, Arf Kapanışı" gibi kavramların yanısıra "Hasse-Arf Teoremi" ile anılan teoremi matematiğe kazandırmıştır.

Matematiği bir meslek dalı olarak değil bir yaşam tarzı olarak görmüştür. Öğrencilerine her zaman matematiği ezberlemeyin kendiniz yapın ve anlayın demiştir.

Hakkında yazılmış bir yazıda şöyle denmiştir:

"Bir zamanlar integrali bilen kimselerin matematikçi, üstel fonksiyonu bilenlerin ise büyük matematikçi sayıldığı ülkemizde derin matematik konularının tartışılacağı hayal bile edilemezdi. Cahit Arf, Türkiye'de matematiğin o günlerden bu günlere gelmesinde en büyük rolü oynamıştır."

» Devamını Oku

1 2 3