Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması
ve
iki normlu lineer uzay olmak üzere
sınırlı lineer operatör ise
olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır.
Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.
ÖNERME: ve
iki normlu lineer uzay,
sınırlı lineer operatör ve
olsun. Bu takdirde
ve
ise
'dir. (Yani,
olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa
'dir)
İSPAT: olduğundan
olduğu açıktır. Öte yandan
olduğundan
ve dolayısıyla
sağlanır.
O halde olduğunda,
olacak şekilde bir
varsa
yazabiliriz.
Bu önerme, problemin kolay kısmıydı. Şimdi bu problemin tersine geçelim:
ise
olacak şekilde bir
var mıdır? Bu soruyu daha açık soralım:
sınırlı lineer operatör ise
'nın normu için
biçiminde bir eşitlik yazabilir miyiz?
Bu sorunun cevabı hayırdır. Tabi sorunun cevabına hayır cavabını veriyorsak bu gerçeği sağlamayan aksi bir örnek bulmalıyız. Şimdi bu örneği inşa edelim ve herbir sınırlı lineer operatörün normunun maksimum ile hesaplanamayacağını gösterelim:
ÖRNEK: uzayını,
olarak tanımlayalım ve buradaki normu,
için
biçiminde verelim.
uzayını ise
olarak
tanımlayalım ve buradaki normu da için
biçiminde verelim.
Açıktır ki için
eşitliği sağlanır.
Şimdi operatörünü tanımlayalım:
operatörü hepimizin yakından tanıdığı türev operatörüdür. Yani,
,
.
Önce bu operatörün sınırlı olduğunu gösterelim:
için
olduğundan
'dir. Şimdi
olduğunu gösterelim:
olarak seçelim. Açıktır ki
'dir.
'tir.
ve
fonksiyonları, pozitif değerli ve
artan olduğundan maksimum değerini sağ uçta, yani noktasında alır. O halde,
Benzer biçimde,
O halde,
olduğundan sıkıştırma teoremine
göre limite geçilirse
olduğu elde edilir.
Şimdi esas probleme dönelim. Şimdi bu operatörünün hiçbir zaman maksimumuna ulaşmadığını kanıtlaycağız. Aksini varsayalım. Yani, varsayalım ki
olacak biçimde bir
vardır. O halde
eşitliğini
biçiminde yazarsak
, yani,
elde ederiz. Bu ise çelişkidir, çünkü
olarak almıştık. O halde bu operatör için norm,
olarak kalır ve asla maksimumuna ulaşmaz.
Bu ise ispatı bitirir.
x,y normlu lineer uzay ve T∈B(x,y) olsun. ∥T∥=sup((∥T∥)/(∥x∥)) şeklinde tanımlandığına göre ∥Tx∥≤∥T∥∥x∥ olduğunu gösteriniz.
yukardaki ispatla bu sorunun ispatı aynımı en kısa zamanda cvp. verirseniz sevinirim
teşekkürler hocam ...
Okuyan arkadaşlar ufuk hocamıza yorum göndererek teşekkür edin lütfen