$X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay olmak üzere $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ise $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}$ olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME: $X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay, $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ve $M\ge{0}$ olsun. Bu takdirde $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ ve $\exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ ise $||A||=M$'dir. (Yani, $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa $||A||=M$'dir)

İSPAT: $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğundan $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}}$ olduğu açıktır. Öte yandan $\displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||}$ olduğundan $M\le{||A||}\le{M}$ ve dolayısıyla $||A||=M$ sağlanır.

O halde $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğunda, $||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ olacak şekilde bir

${x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}$ varsa $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}=\max_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}$ yazabiliriz.

Bu önerme, problemin kolay kısmıydı. Şimdi bu problemin tersine geçelim:

$\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}=M}$ ise $||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ olacak şekilde bir ${x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}$ var mıdır? Bu soruyu daha açık soralım:

$A$ sınırlı lineer operatör ise $A$'nın normu için $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}=\max_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}}$ biçiminde bir eşitlik yazabilir miyiz?

Bu sorunun cevabı hayırdır. Tabi sorunun cevabına hayır cavabını veriyorsak bu gerçeği sağlamayan aksi bir örnek bulmalıyız. Şimdi bu örneği inşa edelim ve herbir sınırlı lineer operatörün normunun maksimum ile hesaplanamayacağını gösterelim:

ÖRNEK: $X$ uzayını, $X=C^{1}[-1,0]=\{f\,|\,f':[-1,0]\rightarrow{\mathbb{R}}\;\text{surekli bir fonksiyondur}\}$ olarak tanımlayalım ve buradaki normu,

$\forall{f}\in{C^{1}[-1,0]}$ için $\displaystyle{||f||_{C^{1}}=\max_{-1\le{x}\le{0}}|f(x)|+\max_{-1\le{x}\le{0}}|f'(x)|}$ biçiminde verelim.

$Y$ uzayını ise $Y=C[-1,0]=\{g\,|\,g:[-1,0]\rightarrow{\mathbb{R}}\;\text{surekli bir fonksiyondur}\}$ olarak

tanımlayalım ve buradaki normu da $\forall{g}\in{C[-1,0]}$ için $\displaystyle{||g||_{C}=\max_{-1\le{x}\le{0}}|g(x)|}$ biçiminde verelim.

Açıktır ki $\forall{f}\in{C^{1}[-1,0]}$ için $||f||_{C^{1}}=||f||_{C}+||f'||_{C}$ eşitliği sağlanır.

Şimdi $A$ operatörünü tanımlayalım:

$A$ operatörü hepimizin yakından tanıdığı türev operatörüdür. Yani, $A:C^{1}[-1,0]\rightarrow{C[-1,0]}$, $\forall{f}\in{C^{1}[-1,0]}, Af=f'$.

Önce bu operatörün sınırlı olduğunu gösterelim:

$\forall{f}\in{C^{1}[-1,0]}$ için $||Af||_{C}=||f'||_{C}\le{||f||_{C}+||f'||_{C}}=||f||_{C^{1}}=1.||f||_{C^{1}}$ olduğundan

$||A||\le{1}$'dir. Şimdi $||A||=1$ olduğunu gösterelim:

$\forall{n}\in{\mathbb{N}}, f_{n}(x)=e^{nx}$ olarak seçelim. Açıktır ki $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, f_{n}\in{C^{1}[-1,0]}$'dir.

$\forall{n}\in{\mathbb{N}}, f'_{n}(x)=ne^{nx}$'tir. $f_{n}(x)=e^{nx}$ ve $f'_{n}(x)=ne^{nx}$ fonksiyonları, pozitif değerli ve

artan olduğundan maksimum değerini sağ uçta, yani $0$ noktasında alır. O halde,

$\displaystyle{||Af_{n}||_{C}=||f'_{n}||_{C}=\max_{-1\le{x}\le{0}}|ne^{nx}|=ne^{n.0}=n}$

Benzer biçimde,

$\displaystyle{||f_{n}||_{C^{1}}=||f_{n}||_{C}+||f'_{n}||_{C}=\max_{-1\le{x}\le{0}}|e^{nx}|+\max_{-1\le{x}\le{0}}|ne^{nx}|=e^{0}+ne^{n.0}=1+n}$

O halde,

$\displaystyle{\forall{n}\in{\mathbb{N}}, \frac{n}{n+1}=\frac{||Af_{n}||_{C}}{||f_{n}||_{C^{1}}}\le{\sup_{f\ne{\theta}}\frac{||Af||_{C}}{||f||_{C^{1}}}}=||A||\le{1}}$ olduğundan sıkıştırma teoremine

göre $n\rightarrow{\infty}$ limite geçilirse $||A||=1$ olduğu elde edilir.

Şimdi esas probleme dönelim. Şimdi bu $A$ operatörünün hiçbir zaman maksimumuna ulaşmadığını kanıtlaycağız. Aksini varsayalım. Yani, varsayalım ki $||Af||_{C}=1.||f||_{C^{1}}$ olacak biçimde bir $f\in{C^{1}[-1,0]\setminus{\{\theta\}}}$ vardır. O halde $||Af||_{C}=||f||_{C^{1}}$ eşitliğini $||f'||_{C}=||f||_{C}+||f'||_{C}$ biçiminde yazarsak $||f||_{C}=0$, yani, $f=\theta$ elde ederiz. Bu ise çelişkidir, çünkü $f\in{C^{1}[-1,0]\setminus{\{\theta\}}}$ olarak almıştık. O halde bu operatör için norm,

$\displaystyle{||A||=\sup_{f\ne{\theta}}\frac{||Af||_{C}}{||f||_{C^{1}}}}$

olarak kalır ve asla maksimumuna ulaşmaz.

Bu ise ispatı bitirir.