Vektör Uzayları

On 26 Ekim 2009, in Matematik, by admin

TANIM1: $K$ en az iki elemanlı bir küme, $+:K\times{K}\rightarrow{K}$ ve $\cdot:K\times{K}\rightarrow{K}$ iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa $(K,+,\cdot)$ üçlüsüne bir cisim denir:

F1) $\forall{a,b,c}\in{K}, (a+b)+c=a+(b+c)$ ,

F2) $\forall{a,b}\in{K}, a+b=b+a$ ,

F3) $\exists{0}\in{K}: \forall{a}\in{K}, a+0=a$ ,

F4) $\forall{a}\in{K}, \exists{b}\in{K}: a+b=0$ ,

F5) $\forall{a,b,c}\in{K}, (ab)c=a(bc)$ ,

F6) $\forall{a,b}\in{K}, ab=ba$ ,

F7) $\forall{a,b,c}\in{K}, a(b+c)=ab+ac$ ,

F8) $\exists{1}\in{K}: \forall{a}\in{K}, 1a=a$ ,

F9) $\forall{a}\in{K\setminus{\{0\}}}, \exists{b}\in{K}: ab=1$ .

(Burada $a\cdot{b}$ gösterimi yerine $ab$ gösterimi kullanılmıştır)

ÖRNEK1: $\mathbb{Q}$ Rasyonel sayılar kümesi, $\mathbb{R}$ Reel sayılar kümesi ve $\mathbb{C}$ Kompleks sayılar kümesi, bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre birer cisimdir.

ÖRNEK2: $p$ , bir asal sayı, $k\in{\mathbb{Z}}$ olmak üzere $k+p\mathbb{Z}=\{k+px : x\in{\mathbb{Z}}\}$ ve $\mathbb{Z}_{p}=\{k+p\mathbb{Z} : k\in{\mathbb{Z}}\}$ olsun. $k,l\in{\mathbb{Z}}$ olmak üzere $(k+p\mathbb{Z})+_{p}(l+p\mathbb{Z})=(k+l)+p\mathbb{Z}$ ve $(k+p\mathbb{Z})\cdot_{p}(l+p\mathbb{Z})=kl+p\mathbb{Z}$ olarak tanımlarsak $(\mathbb{Z},+_{p},\cdot_{p})$ üçlüsü $p$ elemanlı bir cisim olur.

ÖRNEK3: $\mathbb{Z}$ tam sayılar kümesi F1,F2,...,F8 koşullarının hepsini sağlamasına rağmen F9 koşulunu sağlamadığından cisim değildir. $2\in\mathbb{Z}$ 'dir, fakat $2k=1$ koşulunu sağlayan bir $k\in{\mathbb{Z}}$ bulunmadığından F9 koşulu sağlanmaz.

Cisimler konusunu detaylı olarak Cebir kategorisi açıldığında işleyeceğiz. Şimdi asıl konumuz olan Vektör uzayları konusuna giriş yapalım:

TANIM2: $X$ bir küme ve $K$ bir cisim olsun. $+:X\times{X}\rightarrow{X}$ ve $\cdot:K\times{X}\rightarrow{X}$ iki fonksiyon olmak üzere aşağıdaki koşullar sağlanırsa $(X,K,+,\cdot)$ dörtlüsüne bir vektör uzayı ya da lineer uzay denir:

L1) $\forall{x,y,z}\in{X}, (x+y)+z=x+(y+z)$ ,

L2) $\forall{x,y}\in{X}, x+y=y+x$ ,

L3) $\exists{\theta}\in{X}: \forall{x}\in{X}, x+\theta=x$ ,

L4) $\forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{X}: x+y=\theta$ ,

L5) $\forall{a}\in{K}, \forall{x,y}\in{X}, a(x+y)=ax+ay$ ,

L6) $\forall{a,b}\in{K}, \forall{x}\in{X}, (a+b)x=ax+bx$ ,

L7) $\forall{a,b}\in{K}, \forall{x}\in{X}, a(bx)=(ab)x$ ,

L8) $\forall{x}\in{X}, 1x=x$ .

Bazen " $(X,K,+,\cdot)$ bir vektör uzayıdır" ifadesi yerine " $X$ , $K$ -vektör uzayıdır" ifadesi kullanılır. $X$ 'in elemanlarına vektörler, $K$ 'nın elemanlarına sayılar (skaler) denir. $K=\mathbb{R}$ ise $X$ 'e reel vektör uzayı, $K=\mathbb{C}$ ise $X$ 'e kompleks vektör uzayı denir. L3 özelliğindeki $\theta$ elemanına vektör uzayının sıfırı denir. Cismin sıfırı olan $0$ ile karıştırmamak için $\theta$ ile gösterilir. $\theta\in{X}$ olduğundan bir vektör uzayı hiçbir zaman boş değildir. L4 özelliğindeki her bir $x\in{X}$ vektörüne karşılık gelen ve $x+y=\theta$ özelliğini sağlayan $y\in{X}$ vektörüne, $x$ vektörünün toplamaya göre tersi denir.

ÖRNEK4: $\mathbb{R}$ bir $\mathbb{R}$ -vektör uzayıdır. Genel olarak $K$ bir cisim ise kendi üzerinde bir vektör uzayıdır. Yani $\mathbb{Q}$ bir $\mathbb{Q}$ -vektör uzayı ve $\mathbb{C}$ bir $\mathbb{C}$ -vektör uzayıdır.

ÖRNEK5: $n\in{\mathbb{Z}^{+}}$ olmak üzere $\mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{1,n},\text{ }x_{i}\in{\mathbb{R}}\}$ olsun. $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})\in{\mathbb{R}^{n}}$ ve $\lambda\in{\mathbb{R}}$ olmak üzere, toplama işlemi:

$+:\mathbb{R}^{n}\times{\mathbb{R}^{n}}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}$ $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots,x_{n}+y_{n})$ , skalerle çarpma işlemi:

$\cdot:\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^{n}}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}$ $\lambda{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}:=(\lambda{x_{1}},\lambda{x_{2}},\dots,\lambda{x_{n}})$ olarak tanımlanırsa $\mathbb{R}^{n}$ bir $\mathbb{R}$ -vektör uzayı olur.

Genelde $K$ bir cisim olduğunda $K^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{1,n}, \text{ }x_{i}\in{K}\}$ bir $K$ -vektör uzayı olur. Buradaki toplama ve skalerle çarpma işlemleri $\mathbb{R}^{n}$ 'deki ile tamamen benzer biçimde tanımlanır. Buna göre $\mathbb{Q}^{n}$ bir $\mathbb{Q}$ -vektör uzayı ve $\mathbb{C}^{n}$ bir $\mathbb{C}$ -vektör uzayıdır.

ÖRNEK6: $K$ ve $L$ iki cisim, $K\subset{L}$ , $n\in{\mathbb{Z}^{+}}$ ise $L^{n}$ bir $K$ -vektör uzayıdır. Buna göre $\mathbb{R}^{n}$ , $\mathbb{Q}$ üzarinde ve $\mathbb{C}^{n}$ , $\mathbb{Q}$ ve $\mathbb{R}$ üzerinde vektör uzaylarıdır.

ÖRNEK7: $K$ ve $L$ iki cisim ve $K\subsetneqq{L}$ ise $K$ , $L$ üzerinde bir vektör uzayı değildir.

ÇÖZÜM: $K$ 'nın $L$ üzerinde vektör uzayı olmadığını göstermek için ilk akla gelen 8 özellikten birinin sağlanmadığını göstermektir. Fakat bizim çözümümüz bu biçimde olmayacaktır. $K$ 'nın $L$ üzerinde vektör uzayı olabilmesi için ilk önce skalerle çarpma fonskiyonun $\cdot:L\times{K}\rightarrow{K}$ olması gerekir. Biz bunun sağlanmadığını göstereceğiz. $K\subsetneqq{L}$ olduğundan $\exists{\alpha}\in{L}: \alpha\notin{K}$ 'dır. Ayrıca $1\in{K}$ olduğundan $(\alpha,1)\in{L\times{K}}$ 'dır. $\cdot:L\times{K}\rightarrow{K}$ olduğundan $\alpha.1\in{K}$ olması gerekir. Yani $\alpha\in{K}$ olmalıdır. Fakat $\alpha\notin{K}$ olduğundan $\cdot:L\times{K}\rightarrow{K}$ değildir. Dolayısıyla $K$ , $L$ üzerinde bir vektör uzayı değildir.

Örnek7'ye göre $\mathbb{Q}\subsetneqq{\mathbb{R}}$ olduğundan $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ üzerinde ve $\mathbb{R}\subsetneqq{\mathbb{C}}$ olduğundan $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ üzerinde vektör uzayı değildir.

ÖRNEK8: $T$ bir küme ve $K$ bir cisim olmak üzere,

$X=\{f \text{ }\vert\text{ } f:T\rightarrow{K} \text{ fonksiyon}\}$

olarak tanımlansın. $f,g\in{X}$ için toplama işlemi:

$\forall{t}\in{T}, (f+g)(t):=f(t)+g(t)$ ,

$\lambda\in{K}$ ve $f\in{X}$ için skalerle çarpma işlemi:

$\forall{t}\in{T}, (\lambda{f})(t):=\lambda{f(t)}$ olarak tanımlanırsa $X$ bir $K$ -vektör uzayı olur. Bu uzay $X=K^{T}$ ile gösterilir.

Bu örnekte $K=\mathbb{R}$ ve $T=\{1,2,\dots,n\}$ olarak alınırsa $X=\mathbb{R}^{n}$ elde edilir. Ayrıca $T=\mathbb{N}$ ve $K=\mathbb{R}$ alınırsa $X=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ , yani bütün reel terimli diziler elde edilir. Bu vektör uzayı $S$ ile gösterilirse $S=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\}$ olur. Bu inşa kompleks terimli diziler için de yapılabilir. $K=\mathbb{C}$ olarak alınırsa $S=\mathbb{C}^{\mathbb{N}}=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\}$ olur.

ÖRNEK9: $K$ bir cisim ve $K[x]$ , katsayıları $K$ 'dan olan polinomların kümesi yani;

$K[x]=\{f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{0,n}, a_{i}\in{K}\}$ olsun.

$\lambda\in{K}$ , $f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\in{K[x]}$ ve

$g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_{1}x+b_{0}\in{K[x]}$ olsun.

Toplama işlemi, $s=max\{n,m\}$ , $i>n\Rightarrow{a_{i}=0}$ ve $i>m\Rightarrow{b_{i}=0}$ olmak üzere,

$(f+g)(x)=(a_{s}+b_{s})x^{s}+(a_{s-1}+b_{s-1})x^{s-1}+\dots+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})$ ,

Skalerle çarpma işlemi, $(\lambda{f})(x)=\lambda{a_{n}}x^{n}+\lambda{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\lambda{a_{1}}x+\lambda{a_{0}}$ olarak

tanımlanırsa $K[x]$ bir $K$ -vektör uzayı olur.

TANIM3: $K$ bir cisim, $X$ bir $K$ -vektör uzayı ve $x,y\in{X}$ olsun. Bu durumda

$x-y=x+(-y)$

olarak tanımlanır.

ÖNERME1: $K$ bir cisim, $X$ bir $K$ -vektör uzayı olsun. Bu takdirde;

a) $\theta\in{X}$ tektir,

b) $\forall{x}\in{X}$ için $x$ 'in toplamaya göre tersi tektir. ( $x+y=\theta$ özelliğini sağlayan bu tek eleman $y=-x$ olarak gösterilir),

c) $\forall{x}\in{X}, 0x=\theta$ ,

d) $\forall{\lambda}\in{K}, \lambda\theta=\theta$ ,

e) $\forall{x}\in{X}, (-1)x=-x$ ,

f) $\lambda{x}=\theta\Leftrightarrow{\lambda=0\lor{x=\theta}}$ .

İSPAT:

TANIM4: $X$ bir $K$ -vektör uzayı, $\emptyset\ne{M}\subset{X}$ olsun.

(i) $\forall{x,y}\in{M}, x+y\in{M}$ ,

(ii) $\forall{\lambda}\in{K}$ , ve $\forall{x}\in{M}$ , $\lambda{x}\in{M}$

koşulları sağlanıyorsa $M$ 'ye $X$ 'in bir "alt uzayı" ya da "alt vektör uzayı" denir. Bu durumda toplama foksiyonu $X\times{X}$ 'den $M\times{M}$ 'e ve skalerle çarpma fonksiyonu $K\times{X}$ 'den $K\times{M}$ 'e kısıtlanırsa $(M,K,+,\cdot)$ kendi başına bir vektör uzayı olur.

ÖNERME2: $X$ bir $K$ -vektör uzayı, $M\subset{X}$ alt uzay ise $\theta\in{M}$ 'dir.

İSPAT:

Önerme2 ile Tanım4 şu biçimde de ifade edilebilir:

TANIM4': $X$ bir $K$ -vektör uzayı, $M\subset{X}$ olsun.

(i) $\theta\in{M}$

(ii) $\forall{x,y}\in{M}, x+y\in{M}$ ,

(iii) $\forall{\lambda}\in{K}$ , ve $\forall{x}\in{M}$ , $\lambda{x}\in{M}$

koşulları sağlanıyorsa $M$ 'ye $X$ 'in bir "alt uzayı" ya da "alt vektör uzayı" denir. Tanım4' ile hemen şu sonuca varılır: $\theta\notin{M}$ ise $M$ bir alt uzay değildir.

ÖNERME3: $X$ bir $K$ -vektör uzayı, $\emptyset\ne{M}\subset{X}$ olsun. Bu takdirde:

$M$ bir alt uzaydır $\iff$ $\forall{a,b}\in{K}, \text{ }\forall{x,y}\in{M}, \text{ }ax+by\in{M}$ .

İSPAT:

ÖRNEK10: $X$ bir $K$ -vektör uzayı olsun. Bu takdirde $M_{0}=\{\theta\}\subset{X}$ ve $M_{1}=X\subset{X}$ birer alt uzaydır.

TANIM5: $M_{0}$ ve $M_{1}$ 'e $X$ 'in trivial alt uzayları denir. $X$ 'in trivial'den farklı alt uzaylarına "özalt uzay" denir. Başka bir deyişle $\{\theta\}\subsetneqq{M}\subsetneqq{X}$ özelliğini sağlayan bir alt uzaya özalt uzay denir.

ÖRNEK11: $X=\mathbb{R}^{2}$ , $c_{1},c_{2}\in{\mathbb{R}}$ olsun. Bu takdirde,

$M=M_{c_{1},c_{2}}=\{(x_{1},x_{2})\in{\mathbb{R}^{2}}\text{ }|\text{ }c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=0\}$ $\mathbb{R}^{2}$ 'nin bir alt uzayıdır. $c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0$ ise $M_{c_{1},c_{2}}$ özalt uzaydır.

ÇÖZÜM: $a,b\in{\mathbb{R}}$ , $x=(x_1,x_2), y=(y_{1},y_{2})\in{M}$ olsun. O halde $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=0$ ve $c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=0$ 'dır.

$ax+by=a(x_{1},x_{2})+b(y_{1},y_{2})=(ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2})$ 'dir.

$c_{1}(ax_{1}+by_{1})+c_{2}(ax_{2}+by_{2})=a(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})+b(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})=a0+b0=0$

olduğundan $ax+by\in{M}$ 'dir. Ayrıca $c_{1}0+c_{2}0=0$ olduğundan $(0,0)\in{M}$ 'dir. Dolayısıyla $M$ bir alt uzaydır.

Şimdi $c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0$ olduğunda $M_{c_{1},c_{2}}$ 'nin bir özalt uzay olduğunu gösterelim.

$c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0$ ise $c_{1}\ne{0}\lor{c_{2}\ne{0}}$ 'dır. Varsayalım ki $c_{1}\ne{0}$ 'dır. $c_{1}(-c_{2})+c_{2}c_{1}=0$ olduğundan $(-c_{2},c_{1})\in{M}$ . $(-c_{2},c_{1})\ne{(0,0)}$ olduğundan $\{(0,0)\}\subsetneqq{M}$ 'dir.

$(1-c_{2},c_{1})\in{\mathbb{R}^{2}}$ 'dir. $(1-c_{2})c_{1}+c_{1}c_{2}=c_{1}\ne{0}$ olduğundan $(1-c_{2},c_{1})\notin{M}$ 'dir. Sonuç olarak $\{(0,0)\}\subsetneqq{M}\subsetneqq{\mathbb{R}^{2}}$ 'dir. $c_{2}\ne{0}$ olduğunda $\{(0,0)\}\subsetneqq{M}\subsetneqq{\mathbb{R}^{2}}$ olduğu benzer biçimde gösterilebilir.

ÖRNEK12: $X=\mathbb{R}^{2}$ , $M=\{(x,x^{2})\in{\mathbb{R}^{2}}\text{ }|\text{ }x\in{\mathbb{R}}\}$ olsun. $0^{2}=0$ olduğundan $(0,0)\in{M}$ 'dir. O halde $M$ bir alt uzay olabilir. $1^{2}=1$ olduğundan $(1,1)\in{M}$ . $M$ bir alt uzay olsaydı $2\in{\mathbb{R}}$ olduğundan $2(1,1)=(2,2)\in{M}$ olması gerekirdi. Fakat $2^{2}=4\ne{2}$ olduğundan $M$ bir alt uzay değildir.

ÖRNEK13: $X=\mathbb{R}^{3}$ ,

$M_{1}=\{(s-t,s+5t,2t-s) | s,t\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}}$ ,

$M_{2}=\{(s-t,s+5t,2t-1) | s,t\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}}$ olsun.

$M_{1}$ ve $M_{2}$ 'nin alt uzay olup olmadığını araştıralım:

Önce $M_{1}$ 'i inceleyelim: $s=t=0$ için $(0-0,0+5.0,2.0-0)=(0,0,0)\in{M_{1}}$ 'dir.

$a,b\in{\mathbb{R}}$ ve $\big{(}s-t,s+5t,2t-s\big{)}, \big{(}s'-t',s'+5t',2t'-s'\big{)}\in{M_{1}}$ olsun.

$a\big{(}s-t,s+5t,2t-s\big{)}+b\big{(}s'-t',s'+5t',2t'-s'\big{)}$ $=\Big{(}as+bs'-(at+at'),as+bs'+5(at+at'),2(at+at')-(as+bs')\Big{)}\in{M_{1}}$ .

O halde $M_{1}\subset{\mathbb{R}^{3}}$ bir alt uzaydır.

Şimdi $M_{2}$ 'yi inceleyelim: $(0,0,0)\in{M_{2}}$ olması için $(s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0)$ olacak biçimde $s,t\in{\mathbb{R}}$ var olmalıdır.

$(s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0)\Rightarrow{s-t=0\land{s+5t=0}\land{2t-1=0}}$ .

$2t-1=0$ olduğundan $t=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 'dir. $s-t=0$ olduğundan $s=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ 'dir. Fakat $s+5t=\displaystyle{\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}=3\ne{0}}$ . Dolayısıyla $(s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0)$ olacak biçimde $s,t\in{\mathbb{R}}$ yoktur. O halde $(0,0,0)\notin{M_{2}}$ . Bu yüzden $M_{2}$ alt uzay değildir.

ÖRNEK14 (DİZİ UZAYLARI): Örnek8'da $S=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\}$ bütün reel dizilerin uzayını incelemiştik. Şimdi bu uzayın bazı önemli alt uzaylarına göz atalım:

$\displaystyle{l_{\infty}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|<+\infty}\}}$

uzayı, Reel terimli ve sınırlı dizilerin uzayıdır. Bu uzay S'in bir özalt uzayıdır. Çünkü $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1$ seçilirse $(x_{n})\in{l_{\infty}}$ olur ve $l_{\infty}\ne{\{0\}}$ elde edilir. Öte yandan $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=n$ seçilirse $(x_{n})\notin{l_{\infty}}$ ve $(x_{n})\in{S}$ olduğundan

$\{0\}\subsetneqq{l_{\infty}}\subsetneqq{S}$

elde edilir. (Burada $\{0\}$ ile tüm terimleri sıfır olan $(x_{n})=(0,0,\dots,0,\dots)$ dizisini içeren tek elemanlı trivial alt uzay gösterilmektedir)

$\displaystyle{C=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{(x_{n})}}$ yakınsak $\}$

uzayı, Reel terimli ve yakınsak dizilerin uzayıdır. Yakınsak her dizi sınırlı olduğundan bu uzay $l_{\infty}$ 'un bir özalt uzayıdır. Ayrıca $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1$ seçilirse

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=1}$

olduğundan $(x_{n})\in{C}$ olur ve $C\ne{\{0\}}$ elde edilir. Öte yandan $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=(-1)^{n}$ seçilirse $(x_{n})\notin{C}$ ve $(x_{n})\in{l_{\infty}}$ olduğundan

$\{0\}\subsetneqq{C}\subsetneqq{l_{\infty}}$

elde edilir.

$\displaystyle{C_{0}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}\}}$ $C_{0}\subset{C}$ olduğundan $C_{0}$ uzayı $C$ 'nin bir alt uzayıdır. $\displaystyle{\forall{n\in{\mathbb{N}}}, x_{n}=\frac{1}{n}}$ seçilirse

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0}$

olduğundan $x_{n}\in{C_{0}}$ olur. O halde $C_{0}\ne{\{0\}}$ 'dır. Öte yandan $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1$ seçilirse

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=1}$

olduğundan $(x_{n})\notin{C_{0}}$ olur. $(x_{n})\in{C}$ olduğundan $\{0\}\subsetneqq{C_{0}}\subsetneqq{C}$ sağlanır.

$1\le{p}<+\infty$ olmak üzere

$\displaystyle{l_{p}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\}}$

uzayını göz önüne alalım. $(x_{n})\in{l_{p}}$ olsun.

$\displaystyle{(x_{n})\in{l_{p}}\Rightarrow{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}=0}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert=0}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}}$ $\Rightarrow{(x_{n})\in{C_{0}}}$ . O halde $\forall{p}\in{[1,+\infty)}, l_{p}\subset{C_{0}}$ . Şimdi $l_{p}$ 'lerin $C_{0}$ 'ın öz alt uzayları olduğunu gösterelim:

$\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{2^{n/p}}}$ olsun. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{2^{n/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1<+\infty}$ ise $(x_{n})\in{l_{p}}$ .

Dolayısıyla $\forall{p}\in{[1,+\infty)}, l_{p}\ne{\{0\}}$ $\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{1/p}}}$ olsun. $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\frac{1}{n^{1/p}}=0}$ ise $(x_{n})\in{C_{0}}$ .

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty}$ olduğundan $(x_{n})\notin{l_{p}}$ . Yani $\{0\}\subsetneqq{l_{p}}\subsetneqq{C_{0}}$ .

Şimdi $l_{p}$ uzaylarının kendi aralarındaki içerme ilişkisini inceleyelim:

$1\le{p}<q<+\infty$ olsun.

$\displaystyle{(x_{n})\in{l_{p}}\Rightarrow{(x_{n})\in{C_{0}}}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}}$ $\Rightarrow{\forall{\varepsilon}>0, \exists{n_{\varepsilon}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{\varepsilon}, |x_{n}|<\varepsilon}$ $\varepsilon=1$ seçersek,

$\exists{n_{1}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{1}, |x_{n}|<1$ $\Rightarrow{p<q}$ olduğundan $\forall{n}>n_{1},|x_{n}|^{q}<|x_{n}|^{p}$ $\Rightarrow{(x_{n})\in{l_{p}}}$ olduğundan

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}=\sum_{n=1}^{n_{1}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}+\sum_{n=n_{1}+1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}<\sum_{n=1}^{n_{1}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}+\sum_{n=n_{1}+1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}$

O halde $p<q\Rightarrow{l_{p}\subset{l_{q}}}$ doğrudur. Şimdi kesin içermenin sağlandığını gösterelim:

Yine $p<q$ olsun. O halde $\displaystyle{\frac{q}{p}>1}$ 'dir. $\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{1/p}}}$ olsun.

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty}$ olduğundan $(x_{n})\notin{l_{p}}$ .

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{q/p}}<+\infty}$ olduğundan $(x_{n})\in{l_{q}}$ .

O halde $p<q\Rightarrow{l_{p}\subsetneqq{l_{q}}}$ doğrudur.

Son olarak $\Phi=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0\}$

uzayını inceleyelim:

$x_{n}=\bigg\{$ $1,\text{ }n=1\\0,\text{ }n>1$

olarak tanımlarsak $\forall{n}>1, x_{n}=0$ olduğundan $(x_{n})\in{\Phi}$ 'dir. O halde $\{0\}\subsetneqq{\Phi}$ .

$(x_{n})\in{\Phi}$ ve $1\le{p}<\infty$ olsun. $\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0$ $\displaystyle{\Rightarrow{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}}= \sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}+\sum_{n=N+1}^{\infty}|x_{n}|^{p}= \sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}+\sum_{n=N+1}^{\infty}0=\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}<+\infty}$

olduğundan $(x_{n})\in{l_{p}}$ . O halde $\Phi$ uzayı $l_{p}$ 'nin bir alt uzayıdır. Şimdi kesin içermenin olduğunu gösterelim:

$\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{2}}}$ olsun. $\displaystyle{\forall{n}\in{\mathbb{N}}, \frac{1}{n^{2}}\ne{0}}$ olduğundan $(x_{n})\notin{\Phi}$ .

Fakat

$\displaystyle{\forall{p}\in[1,+\infty), \sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2p}}<+\infty}$

olduğundan $(x_{n})\in{l_{p}}$ 'dir. Yani $\{0\}\subsetneqq{\Phi}\subsetneqq{l_{p}}$ .

O halde ele aldığımız bütün dizi uzayları için aşağıdaki içerme doğrudur:

$\Phi\subsetneqq{l_{p}}\subsetneqq{C_{0}}\subsetneqq{C}\subsetneqq{l_{\infty}}\subsetneqq{S}$

Örnek14'te verilen bütün dizi uzayları reel terimli diziler için verilmiştir. Buradaki bütün örnekler kompleks terimli diziler için de verilebilir. Buna göre $S=\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ bütün kompleks terimli dizilerin uzayı olur. Bu uzayın alt uzayları da

$\displaystyle{l_{\infty}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|<+\infty}\}}$ $\displaystyle{C=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{(x_{n})}}$ yakınsak $\}$ $\displaystyle{C_{0}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}\}}$ $\displaystyle{l_{p}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\}}$ $\Phi=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0\}$

olarak verilebilir.

Türkiyenin en iyi uçak bileti satış sitesi.Evden eve nakliyat işlerimlerinizi güvenilir şekilde yapabilirsiniz.Herbalife bilimsel tabanlı kilo kontrolü ürünleri.Orjin krem ile ağrılarınızdan kurtulun.Türkiye’de sex shop denilince akla gelen ilk site.

Akademik Matematik

Vektör Uzayları

Related Posts:

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et

Yararlı Siteler

Son Yorumlar

Kategoriler

Akademik Matematik

Pages

Stay In Touch

More