Akademik Matematik

Türkiye'nin İlk ve Tek Akademik Matematik Sitesi

Home

Russell Paradoksu

On 11 Temmuz 2009, in Matematik, by admin

19. yüzyılın sonlarına kadar matematikçiler herhangi nesnelerin topluluğuna küme demişlerdir. Doğal sayılar kümesi, Reel sayılar kümesi, Çift sayılar kümesi, Kümelerin kümesi, Tüm kümelerin kümesi, bunu çok fazla örnekle pekiştirmek mümkün. O zamana kadar tüm matematikçiler küme olmanın tek şartının sadece nesnelerin bir araya gelmesi olduğuna inanmışlar ve bundan en ufak bir şüphe duymamışlardır. Ta ki Bertrand Russell'ın paradoksu ortaya çıkana kadar. Russell, küme için "herhangi nesnelerin topluğuna küme adı verilir" şeklinde bir tanım verildiğinde, kümeler kuramının bir paradoksa sürüklendiğini ispatlamıştır. Şimdi Russell paradoksunu inceleyelim. Varsayalım ki herhangi nesnelerin topluluğuna küme denir. O halde tüm kümelerin oluşturduğu topluluk da bir kümedir. Bu kümeye $X$ diyelim. Buna göre bütün kümeler $X$ 'in elemanıdır. Yani $A$ herhangi bir kümeyse $A \in{X}$ 'tir. $X$ de bir küme olduğuna göre $X \in{X}$ 'tir. Şimdi, bu $X$ kümesinin bir alt kümesini inşa edelim. $Y=\{A \in{X}\text{ }\vert\text{ }A \notin{A} \}$ olsun. Çelişkiye doğru adım adım ilerliyoruz. Acaba $Y \in{Y}$ ya da $Y \notin{Y}$ önermelerinden hangisi doğrudur. Şimdi, varsayalım ki $Y \in{Y}$ doğrudur. O halde $Y$ 'nin elemanları kendisinin elemanı olmayan kümeler olduğundan $Y \notin{Y}$ doğru olur. Tersine $Y \notin{Y}$ varsayalım. O halde $Y$ tanıma göre $Y$ 'nin elemanıdır. Yani $Y \in{Y}$ . Buradan şöyle bir sonuca varılır.