lp Uzayları ile Sınırlı Diziler Uzayındaki Normların İlişkisi

On 26 Aralık 2009, in Matematik, by admin

Fonksiyonel analiz okuyan biri $1\le{p}<{+\infty}$ olmak üzere $l_{p}$ uzaylarında bir $x=(x_{n})$ dizisi için $\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}}$ eşitliğine en az bir defa şahit olmuştur. Fakat bu yargının ispatı genelde Türkçe kitaplarda ve internette yoktur. Şimdi bu önermenin ispatını yapacağız. Bu ispat, lemmalar da dahil olmak üzere tamamıyla bana (Ufuk KAYA) aittir. Sizden ricam şudur: Bu ispatı bir yerde kullanacaksanız lütfen telif hakkının www.akademikmatematik.com'a ait olduğunu belirtiniz.

ÖNERME: $1\le{p^{*}}<+\infty$ olmak üzere $x=(x_{n})\in{l_{p^{*}}}$ olsun. Bu takdirde,

$\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}}$

dur. Burada $\displaystyle{\|x\|_{p}=\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\bigg{)}^\frac{1}{p}}$ ve $\displaystyle{\|x\|_{\infty}=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|}$ dir.

Bu önermenin ispatını yapmadan önce birkaç lemma ispatlamamız gerekmektedir.

LEMMA1: $1\le{p}<+\infty$ ve $x=(x_{n})\in{l_{p}}$ olsun. Bu takdirde $x=(x_{n})\in{l_{\infty}}$ 'dur ve

$\displaystyle{\exists{n^{*}}\in{\mathbb{N}}: \|x\|_{\infty}=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=\max_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=|x_{n^{*}}|}$ dır.

İSPAT: $\forall{p}\in{[p,+\infty)}, l_{p}\subset{l_{\infty}}$ olduğunu Vektör Uzayları sayfamızdaki Örnek14'te ispatlamıştık. Bu yüzden $(x_{n})\in{l_{p}}$ ise sınırlıdır, yani $(x_{n})\in{l_{\infty}}$ 'dur. Şimdi

$\displaystyle{\|x\|_{\infty}=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=\max_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=|x_{n^{*}}|}$

olacak biçimde bir $n^{*}\in{\mathbb{N}}$ 'in varlığını ispatlayalım. $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=0$ , yani $x=(x_{n})=\theta$ ise

$\displaystyle{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}0=0}$

olduğundan $n^{*}=1$ seçilirse $\|x\|_{\infty}=0=|x_{1}|=|x_{n^{*}}|$ elde edilir. Şimdi $x=(x_{n})\ne{\theta}$ için ispatlayalım. $\|x\|_{\infty}>0$ 'dır. $\|x\|_{\infty}=M$ diyelim. $\forall{p}\in{[p,+\infty)}, l_{p}\subset{C_{0}}$ olduğunu da Vektör Uzayları sayfamızdaki Örnek14'te ispatlamıştık. O halde

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}$

dır. Buradan,

$\forall{\varepsilon}>0, \exists{n_{\varepsilon}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{\varepsilon}, |x_{n}|<\varepsilon$ $\displaystyle{\varepsilon=\frac{M}{2}>0}$ seçebiliriz. O halde,

$\displaystyle{\exists{n_{M}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{M}, |x_{n}|<\frac{M}{2}}$ . Dolayısıyla,

$\displaystyle{M=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=\sup_{1\le{n}\le{n_{M}}}|x_{n}|=\max_{1\le{n}\le{n_{M}}}|x_{n}|}$ .

Sonuç olarak,

$\displaystyle{\exists{n^{*}}\in{\mathbb{N}}: \|x\|_{\infty}=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=\max_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=|x_{n^{*}}|}$

LEMMA2: $1\le{p}<{+\infty}$ için $x=(x_{n})\in{l_{p}}$ ise $\|x\|_{\infty}\le{\|x\|_{p}}$ 'dir.

İSPAT: Lemma1 ile

$\displaystyle{\exists{n^{*}}\in{\mathbb{N}}: \|x\|_{\infty}=\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=\max_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|=|x_{n^{*}}|}$

dır.

$\alpha>0$ olmak üzere $\varphi:[0,+\infty)\rightarrow{[0,+\infty)}$ , $\forall{t}\in{[0,+\infty)}, \varphi(t)=t^{\alpha}$ fonksiyonu artandır. Yani, $t_{1}\le{t_{2}}\Rightarrow{t_{1}^{\alpha}\le{t_{2}^{\alpha}}}$ . O halde $\displaystyle{\frac{1}{p}>0}$ olduğundan $\displaystyle{\alpha=\frac{1}{p}}$ seçilirse $\varphi(t)=t^{\frac{1}{p}}$ fonksiyonu da artan olur.

$\displaystyle{\|x\|_{\infty}^{p}=|x_{n^{*}}|^{p}\le{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}}}$ $\varphi(t)=t^{\frac{1}{p}}$ fonksiyonu artan olduğundan $t_{1}=\|x\|_{\infty}^{p}, t_{2}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}}$ seçilirse $t_{1}\le{t_{2}}$ olduğundan

$\displaystyle{\varphi\big{(}\|x\|_{\infty}^{p}\big{)}\le{\varphi\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\bigg{)}}}$ yani,

$\displaystyle{\big{(}\|x\|_{\infty}^{p}\big{)}^{\frac{1}{p}}\le{\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}}}$ elde edilir. Buradan,

$\displaystyle{\|x\|_{\infty}\le{\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}}=\|x\|_{p}}$ bulunur.

LEMMA3: $1\le{p^{*}}<+\infty$ , $x=(x_{n})\in{l_{p^{*}}}$ ve $\|x\|_{\infty}=1$ olsun. Bu takdirde $\forall{p}\ge{p^{*}}$ için,

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\le{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p^{*}}}}$

dır.

İSPAT: $0\le{a}\le{1}$ olmak üzere $\psi:[0,+\infty)\rightarrow{[0,+\infty)}, \forall{t}\in{[0,+\infty)}, \psi(t)=a^{t}$ olarak tanımlanan fonksiyon azalandır. Yani, $t_{1}\le{t_{2}}\Rightarrow{a^{t_{2}}\le{a^{t_{1}}}}$ dir.

$\|x\|_{\infty}=1$ olduğundan $\forall{n}\in{\mathbb{N}}, |x_{n}|\le{1}$ dir.

$\psi$ azalan fonksiyonunda $a=|x_{n}|$ alırsak $\forall{p\ge{p^{*}}}$ için $\psi(p)\le{\psi(p^{*})}$ olur. Yani,

$\forall{p}\ge{p^{*}}, \forall{n}\in{\mathbb{N}}, |x_{n}|^{p}\le{|x_{n}|^{p^{*}}}$

olur. Eşitsizliğin her iki tarafından toplam alınırsa,

$\displaystyle{\forall{p}\ge{p^{*}}, \sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\le{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p^{*}}}}$

elde edilir.

ÖNERMENİN İSPATI: $1\le{p^{*}}\le{p}<+\infty$ olduğunda $l_{p^{*}}\subset{l_{p}}$ olduğunun ispatı Vektör Uzayları sayfamızdaki Örnek14'te mevcuttur. O halde $x=(x_{n})\in{l_{p^{*}}}$ olduğundan $\forall{p}\ge{p^{*}}$ için $(x_{n})\in{l_{p}}$ . Dolayısıyla $\forall{p}\ge{p^{*}}, \|x\|_{p}<+\infty$ olur. Buna göre $\|x\|_{p}$ fonksiyonu $p$ 'nin $[p^{*},+\infty)$ aralığında, iyi tanımlı bir fonksiyonudur. O halde

$\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}}$

limiti araştırılabilir. Ayrıca yine Vektör Uzayları sayfamızdaki Örnek14'e göre $l_{p^{*}}\subset{l_{\infty}}$ olduğundan $\|x\|_{\infty}<+\infty$ 'dir.

i) $x=\theta$ ise $\forall{p}\in{[1,+\infty)}, \|x\|_{p}=0$ ve $\|x\|_{\infty}=0$ olduğundan

$\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}}$

eşitliği açıktır.

ii) $x\ne{\theta}$ olsun. O halde $\|x\|_{\infty}>0$ 'dır. $\|x\|_{\infty}=N$ diyelim. $n\in{\mathbb{N}}$ olmak üzere,

$\displaystyle{y_{n}=\frac{x_{n}}{N}}$

şeklindeki $y=(y_{n})$ dizisini tanımlayalım. $\|y\|_{\infty}=1$ olduğu açıktır. O halde Lemma3'e göre

$\displaystyle{\forall{p}\ge{p^{*}}, \sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p}\le{\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p^{*}}}}$

olur. $\displaystyle{t_{1}=\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p}}$ ve $\displaystyle{t_{2}=\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p^{*}}}$ olarak alınırsa $t_{1}\le{t_{2}}$ olduğundan ve Lemma2'de tanımladığımız $\varphi$ fonksiyonu artan olduğundan $\varphi(t_{1})\le{\varphi(t_{2})}$ , yani

$\displaystyle{\forall{p}\ge{p^{*}}, \bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}\le{\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p^{*}}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}}}$

elde edilir. $\displaystyle{T=\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p^{*}}}$ olarak tanımlayalım. Bu yeni tanımladığımız $T$ sayısı $p$ 'den bağımsız bir sabittir. Buna göre son eşitsizlik,

$\displaystyle{\forall{p}\ge{p^{*}}, \bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}\le{T^{\frac{1}{p}}}}$

halini alır. Eşitsizliğin her iki tarafını $N>0$ sayısı ile çarparsak,

$\displaystyle{\forall{p}\ge{p^{*}}, N\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|y_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}=\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}N^{p}|y_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}=\bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|Ny_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}\le{N.T^{\frac{1}{p}}}}$

bulunur. $x=Ny$ olduğundan bu son eşitsizlik,

$\displaystyle{\forall{p}\ge{p^{*}}, \bigg{(}\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}\bigg{)}^{\frac{1}{p}}\le{N.T^{\frac{1}{p}}}}$

eşitsizliğine dönüşür. Son eşitsizliği norm dilinde yazabiliriz:

$\forall{p}\ge{p^{*}}, \|x\|_{p}\le{\|x\|_{\infty}T^{\frac{1}{p}}}$

Lemma2'ye göre

$\forall{p}\ge{p^{*}}, \|x\|_{\infty}\le{\|x\|_{p}}$

dir. Son iki eşitsizlik birleştirilerek yazılırsa,

$\forall{p}\ge{p^{*}}, \|x\|_{\infty}\le{\|x\|_{p}}\le{\|x\|_{\infty}T^{\frac{1}{p}}}$

elde edilir. Şimdi $p\rightarrow{\infty}$ sıkıştırma teoremi kullanılırsa

$\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}T^{\frac{1}{p}}=1}$

olduğundan

$\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}}$

elde edilir. İspat bitti.

Webmasterler için wordpress indir tek tuşla.Magna rx türkiye yetkili satış sitesi.En iyi kamagra jel satış sitesine hoş geldiniz.Türkiyede bulunan levitra satış noktası.Argan yağı ile cildinizi yenileyin.

2 Responses to lp Uzayları ile Sınırlı Diziler Uzayındaki Normların İlişkisi

admin diyor ki:

30 Mayıs 2011, 20:34

heralde yetişmez giiizz yaa

Cevapla
giiiz diyor ki:

30 Mayıs 2011, 17:51

hocam ters operatorlerle ilgili de ornek koysaniz keske finalden once

Cevapla

Akademik Matematik