Lineer Kombinasyonlar

On 18 Aralık 2009, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir $K$ - vektör uzayı, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ ve $c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K}$ olmak üzere,

$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}$

toplamına $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ elemanlarının bir lineer kombinasyonu ya da sonlu lineer kombinasyonu denir.

TANIM2: $X$ bir $K$ - vektör uzayı, $\emptyset\ne{A}\subset{X}$ olsun. $A$ 'nın tüm sonlu lineer kombinasyonlarının kümesine $A$ ile üretilen uzay denir ve $\text{lin}A$ ile gösterilir. Buna göre,

$\displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, x_{k}\in{A}, 1\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\bigg\}}$

olur. $A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}$ sonlu bir küme olduğunda,

$\displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, 1\le{k}\le{n}\bigg\}}$

olacağı açıktır. Ayrıca $\forall{a}\in{A}, a=1a$ olduğundan $A$ 'nın her elemanı kendi sonlu lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. O halde $a\in{\text{lin}A}$ , yani, $A\subset{\text{lin}A}$ 'dır.

ÖNERME1: $X$ bir $K$ - vektör uzayı, $\emptyset\ne{A}\subset{X}$ olsun. Bu takdirde $\text{lin}A$ , $X$ 'in bir alt uzayıdır.

İSPAT:

ÖRNEK1: $X=\mathbb{R}^{2}$ , $A=\{(1,0),(0,1)\}$ olsun. $\text{lin}A$ 'yı bulalım. $(x,y)\in{\mathbb{R}^{2}}$ olsun. $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$ olduğundan $(x,y)\in\text{lin}A$ . O halde $\text{lin}A=\mathbb{R}^{2}$ .

Benzer biçimde $X=\mathbb{R}^{n}$ , $1\le{k}\le{n}$ için

$e_{k}=(0,0,\dots,0,\underbrace{1}_{k. \text{terim}},0,\dots,0)\in{\mathbb{R}^{n}}$

ve $A=\{e_{k}\text{ }|\text{ }1\le{k}\le{n}\}$ alınırsa $\forall{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in{\mathbb{R}^{n}}$ için

$x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=x_{1}(1,0,\dots,0)+x_{2}(0,1,0,\dots,0)+\dots+x_{n}(0,0,\dots,1)$

$\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}x_{k}e_{k}}$ olduğundan $\text{lin}A=\mathbb{R}^{n}$ 'dir.

ÖRNEK2: $X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\, |\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}\; \text{fonksiyondur}}\}$ seçelim. (Burada verilen $X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ uzayı Vektör uzayları konumuzda ayrıntılı incelenmiştir.) $p_{n}(x)=x^{n}\; (n\in{\mathbb{N}})$ olmak üzere

$A=\{p_{n}\, | \, n\in{\mathbb{N}}\}\subset{X}$ olsun. $A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n},\dots\}$ olduğu açıktır.

$\text{lin}A$ , $A$ kümesinin sonlu lineer kombinasyonlarından oluştuğundan

$\text{lin}A=\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\, |\, a_{k}\in{\mathbb{R}}, 0\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\}$

olur. Yani $\text{lin}A$ tüm polinomların kümesidir.

ÖRNEK3: $X=\mathbb{R}^{4}$ , $A=\{(3,0,2,4),(0,-1,-3,11),(0,1,-1,0)\}$ olsun. Buna göre $\text{lin}A$ 'yı bulalım:

$a,b,c\in{\mathbb{R}}$ olsun.

$a(3,0,2,4)+b(0,-1,-3,11)+c(0,1,-1,0)=(3a,-b+c,2a-3b-c,4a+11b)$ olduğundan,

$\text{lin}A=\{(3a,-b+c,2a-3b-c,4a+11b)\, |\, a,b,c\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{4}}$ olur.

ÖRNEK4: $X=\mathbb{R}^{3}$ , $A=\{(0,1,1),(1,-1,0),(0,0,0)\}$ olsun. Buna göre $\text{lin}A$ 'yı bulalım:

$a,b,c\in{\mathbb{R}}$ olsun.

$a(0,1,1)+b(1,-1,0)+c(0,0,0)=(b,a-b,a)$ olduğundan,

$\text{lin}A=\{(b,a-b,a)\, |\, a,b,c\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}}$ olur.

Burada görüldüğü gibi $\theta=(0,0,0)$ elemanının $\text{lin}A$ 'ya hiçbir katkısı yoktur. Yani,

$\text{lin}\{(0,1,1),(1,-1,0),(0,0,0)\}=\text{lin}\{(0,1,1),(1,-1,0)\}$ 'dır. Bu durum sadece $\mathbb{R}^{3}$ uzayında değil tüm lineer uzaylarda geçerlidir. $X$ bir lineer uzay ve $\theta\in{A}\subset{X}$ ise $\text{lin}A=\text{lin}(A\setminus{\{\theta\}})$ yazabilir. Yani, $\theta$ , $\text{lin}A$ hesaplamasına dahil edilmez. Burada belirtmek gerekir ki $\text{lin}\{\theta\}=\{\theta\}$ 'dır.

TANIM3: $X$ bir $K$ - vektör uzayı, $A\subset{X}$ olsun. $A$ kümesini içeren tüm alt uzayların kesişimine $A$ uzayının gereni veya geren uzayı denir ve $\text{span}A$ ile gösterilir. Bu tanıma göre $M$ 'ler alt uzay olmak üzere

$\displaystyle{\text{span}A=\bigcap_{M\supset{A}}M}$

yazılabilir. Bu tanıma göre $\text{span}A$ alt uzayların kesişimidir. Vektör uzayları konusundaki Önerme5 ile altuzayların kesişimi alt uzay olduğundan $\text{span}A$ bir altuzaydır. Buna göre $\text{span}A$ , $A$ 'yı içeren en dar alt uzaydır.

ÖRNEK5: $X$ bir $K$ - vektör uzayı $A=\emptyset$ olsun. Her $M\subset{X}$ altuzayı $A$ 'yı içerir. Dolayısıyla $\{\theta\}$ altuzayı da $A$ 'yı içerir. Bundan dolayı,

$\displaystyle{\text{span}\emptyset=\bigcap_{M\supset{A}}M\subset\{\theta\} \;(M \text{altuzay})}$

dır. Ayrıca $\text{span}\emptyset$ bir altuzay olduğundan $\theta\in{\text{span}\emptyset}$ , yani $\{\theta\}\subset{\text{span}\emptyset}$ 'dir. Dolayısıyla $\text{span}\emptyset=\{\theta\}$ 'dir.