İki Altgrubun Çarpımının Mertebesi

On 08 Ocak 2010, in Matematik, by admin

TEOREM: $G$ bir grup, $H$ ve $K$ , $G$ 'nin iki sonlu altgrubu olsun. Bu takdirde, $\displaystyle{|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap{K}|}}$ dır.

İSPAT: $R\subset{(H\times{K})\times{(H\times{K})}}$ bağıntısını $(h,k),(h^{*},k^{*})\in{(H\times{K})\times{(H\times{K})}}$ olmak üzere aşağıdaki biçimde tanımlayalım:

$(h,k)R(h^{*},k^{*})\Leftrightarrow{hk=h^{*}k^{*}}$

I) $\forall{(h,k)}\in{H\times{K}}, hk=hk$ olduğundan $(h,k)R(h,k)$ , yani $R$ yansıyan,

II) $(h,k)R(h^{*},k^{*})\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}}\Rightarrow{h^{*}k^{*}=hk}\Rightarrow{(h^{*},k^{*})R(h,k)}$ olduğundan $R$ simetrik,

III) $(h,k)R(h^{*},k^{*})\land{(h^{*},k^{*})R(h',k')}\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}\land{h^{*}k^{*}=h'k'}}\Rightarrow{hk=h'k'}$ $\Rightarrow{(h,k)R(h',k')}$ olduğundan $R$ geçişkendir.

O halde $R$ bir denklik bağıntısıdır. $R=\sim$ ile gösterelim. Açıktır ki,

$(h,k)\sim{(h^{*},k^{*})}\Leftrightarrow{h^{-1}h^{*}=k(k^{*})^{-1}}$

sağlanır.

$X=\{\overline{(h,k)}\text{ }|\text{ }(h,k)\in{H\times{K}}\}$ tanımlayalım. $X$ kümesi, $\sim$ denklik bağıntısının denklik sınıflarının kümesidir.

$f:X\rightarrow{HK}$ fonksiyonunu, $\forall{\overline{(h,k)}}, f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=hk$ olarak tanımlayalım. Önce bu fonksiyonun iyi tanımlı olduğunu gösterelim:

$\overline{(h,k)}=\overline{(h^{*},k^{*})}$ olsun. O halde

$(h,k)\sim{(h^{*},k^{*})}\Rightarrow{hk=h^{*}k^{*}}\Rightarrow{f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=f\Big{(}\overline{(h^{*},k^{*})}\Big{)}}$ olduğundan $f$ iyi tanımlıdır.

Şimdi $f$ 'in birebir olduğunu gösterelim. $\overline{(h,k)},\overline{(h^{*},k^{*})}\in{X}$ olmak üzere $f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=f\Big{(}\overline{(h^{*},k^{*})}\Big{)}$ olsun. O halde

$hk=h^{*}k^{*}\Rightarrow{(h,k)\sim{(h^{*},k^{*})}}\Rightarrow{\overline{(h,k)}=\overline{(h^{*},k^{*})}}$ olduğundan $f$ birebirdir.

Son olarak $f$ 'in örten olduğunu gösterelim:

$y\in{HK}$ olsun. O halde $\exists{h}\in{H}\text{ ve }\exists{k}\in{K}: y=hk$ . Dolayısıyla $f\Big{(}\overline{(h,k)}\Big{)}=hk=y$ olduğundan $f$ örtendir.

Buna göre $\sim$ bağıntısının farklı denklik sınıflarının sayısı $HK$ 'nın mertebesine eşittir.

$\overline{(h,k)}\in{X}$ keyfi sabitlenmiş bir denklik sınıfı olsun.

$g:\overline{(h,k)}\rightarrow{H\cap{K}}$ fonksiyonunu, $\forall{(h^{*},k^{*})}\in{\overline{(h,k)}}, g\Big{(}(h^{*},k^{*})\Big{)}=h^{-1}h^{*}$ olarak tanımlayalım. $h,h^{*}\in{H}$ ve $H$ bir altgrup olduğundan $h^{-1}h^{*}\in{H}$ . Öte yandan $(h^{*},k^{*})\in{\overline{(h,k)}}\Rightarrow{(h^{*},k^{*})\sim{(h,k)}}\Rightarrow{h^{-1}h^{*}=k(k^{*})^{-1}}$ , $k,k^{*}\in{K}$ ve $K$ bir altgrup olduğundan $k(k^{*})^{-1}\in{K}$ 'dır. Dolayısıyla $h^{-1}h^{*}\in{H\cap{K}}$ , yani:

$g:\overline{(h,k)}\rightarrow{H\cap{K}}$ iyi tanımlıdır.

Şimdi $g$ 'nin birebir olduğunu gösterelim:

$(h^{*},k^{*}),(h',k')\in{\overline{(h,k)}}$ için $g\Big{(}(h^{*},k^{*})\Big{)}=g\Big{(}(h',k')\Big{)}=$ olsun. O halde $h^{-1}h^{*}=h^{-1}h'$ . Grupta sadeleşme özelliği var olduğundan $h^{*}=h'$ . Öte yandan $(h^{*},k^{*}),(h',k')\in{\overline{(h,k)}}$ olduğundan $(h^{*},k^{*})\sim{(h,k)}$ ve $(h',k')\sim{(h,k)}$ , yani, $h^{-1}h^{*}=k(k^{*})^{-1}$ ve $h^{-1}h'=k(k')^{-1}$ yazabiliriz. Buradan da $h^{*}=h'$ olduğunu kullanarak $k(k^{*})^{-1}=k(k')^{-1}$ olduğunu elde ederiz. Sadeleşme özelliğinden $k^{*}=k'$ bulunur ki, bu da $(h^{*},k^{*})=(h',k')$ olduğunu gösterir. Dolayısıyla $g$ birebirdir.

Şimdi $g$ 'nin örten olduğunu gösterelim:

$y\in{H\cap{K}}$ olsun. $h^{*}=hy$ seçersek $H$ bir altgrup ve $h,y\in{H}$ olduğundan $h^{*}\in{H}$ olur. $k^{*}=y^{-1}k$ seçersek benzer sebeplerden $k^{*}\in{K}$ olur ve dolayısıyla $(h^{*},k^{*})\in{H\times{K}}$ elde edilir. Ayrıca $h^{-1}h^{*}=h^{-1}hy=y=kk^{-1}y=k(y^{-1}k)^{-1}=k(k^{*})^{-1}$ olduğundan $(h^{*},k^{*})\sim{(h,k)}$ , yani, $(h^{*},k^{*})\in{\overline{(h,k)}}$ olur. Sonuç olarak $g\Big{(}(h^{*},k^{*})\Big{)}=h^{-1}h^{*}=h^{-1}hy=y$ olduğundan $g$ örtendir. Bu da gösterir ki $\forall(h,k)\in{H\times{K}}, \overline{(h,k)}$ kümesi ile $H\cap{K}$ kümesinin eleman sayıları aynıdır.

İspatı sonlandırmak için bu denklik bağıntısının denklik sınıflarının ayrık olduğunu ve bu denklik sınıflarının birleşiminin $H\times{K}$ olduğunu kullanalım:

$H$ ve $K$ sonlu olduğundan $H\times{K}$ , $H\cap{K}$ ve $\forall(h,k)\in{H\times{K}}, \overline{(h,k)}$ kümeleri sonludur. $\sim$ bağıntısının ayrık denklik sınıflarının hepsinden bir eleman seçelim. bu elemanları $(h_{1},k_{1}),(h_{2},k_{2}),\dots,(h_{n},k_{n})$ ile gösterelim. Buradan görülüyor ki $n=|X|=|HK|$ . Açıktır ki,

$\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{n}\overline{(h_{i},k_{i})}=H\times{K}}$

dır. O halde

$\displaystyle{|H||K|=|H\times{K}|=|\bigcup_{i=1}^{n}\overline{(h_{i},k_{i})}|=\sum_{i=1}^{n}|\overline{(h_{i},k_{i})}|=\sum_{i=1}^{n}|H\cap{K}|=|H\cap{K}|\sum_{i=1}^{n}1}$ $=|H\cap{K}|n=|H\cap{K}||HK|$

ve nihayet elde ederiz ki:

$\displaystyle{|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap{K}|}}$

Bu ispat Ufuk Kaya'ya aittir. Lütfen kullandığınız yerde telif hakkının sitemize ait olduğunu belirtiniz.

Türkiye de en iyi herbalife satış noktası.Saf argan yağı cildinizde mükkemmel bir etki gösterir.Salyangoz kremiellezza ile güzelleşmek çok kolay.Sex shop yetkili satış sitesi.

Akademik Matematik

İki Altgrubun Çarpımının Mertebesi

Related Posts:

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et

Yararlı Siteler

Son Yorumlar

Kategoriler

Akademik Matematik

Pages

Stay In Touch

More