Fonksiyonlar

On 29 Eylül 2009, in Matematik, by admin

Fonksiyonlar matematiğin en önemli kavramlarından biridir. Hatta o kadar önemlidir ki matematiğin tanımını "matematik kümeler arasındaki fonksiyonları inceleyen bilim dalıdır" şeklinde yapanlar vardır. Tabiki bu tanım doğru değildir. Fakat fonksiyonların ne derece önemli olduğunu belirtmek için böyle bir örnek verdim. Matematik uzaktan bir su birikintisine benzer. Yanına gelirsin göl olur. İçine girersin deniz olur. Ve açılırsın okyanus olur.

TANIM1: $X$ ve $Y$ iki küme, $f\subset{X\times{Y}}$ bir bağıntı olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa $f$ bağıntısına bir fonksiyon denir:

1. $\forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{Y}: (x,y)\in{f}$ ,

2. $(x,y),(x,y')\in{f}\Rightarrow{y=y'}$ .

Burada $X$ 'e tanım kümesi, $Y$ 'ye ise değer kümesi denir. Tanımından da anlaşılacağı gibi fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı, değer kümesindeki tek bir elemanla eşleştiren bir bağıntıdır. Bu yüzden fonksiyonlarda $xfy$ veya $(x,y)\in{f}$ gösterimi yerine $y=f(x)$ gösterimi kullanılır. Bir fonksiyona bazen dönüşüm de denir. Eğer $f$ , $X$ 'den $Y$ 'ye bir fonksiyon ise bu durum $f:X\rightarrow{Y}$ ile ya da $X\stackrel{f}{\rightarrow}{Y}$ ile gösterilir.

ÖRNEK1 (Birim fonksiyon, Özdeşlik fonksiyonu): $X$ bir küme olsun. $I_{X}:X\rightarrow{X}$ $\forall{x}\in{X}, I_{X}(x)=x$ şeklinde tanımlanan fonksiyona $X$ kümesinin birim fonksiyonu denir.

ÖRNEK2 (Sabit fonksiyon): $X,Y\ne{\emptyset}$ kümeler, $c\in{Y}$ bir sabit olsun. $f:X\rightarrow{Y}$ $\forall{x}\in{X}, f(x)=c$ biçiminde tanımlanan dönüşüme sabit fonksiyon denir.

ÖRNEK3 (İçerme fonksiyonu): $X$ bir küme, $\emptyset\ne{A}\subset{X}$ olsun. $i_{A}:A\rightarrow{X}$ $\forall{a}\in{A}, f(a)=a$ biçiminde tanımlanan dönüşüme $A$ kümesinin $X$ 'deki içerme fonksiyonu denir.

ÖRNEK4 (Kısıtlama fonksiyonu): $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon, $A\subset{X}$ olsun. $f\downarrow{A}:A\rightarrow{Y}$ , $\forall{a}\in{A}, f\downarrow{A}(a)=f(a)$ şeklinde tanımlanan fonksiyona bir kısıtlama (kısıtlanış) fonksiyonu denir.

ÖRNEK5 (Karakteristik fonksiyon): $X$ bir küme, $A\subset{X}$ olsun. $\chi_{A}:X\rightarrow\{0,1\}$ ,

$\chi_{A}(x)=\bigg\{$ $1,\text{ }x\in{A}\\0,\text{ }x\in{X\setminus{A}}$

şeklinde tanımlanan fonksiyona $A$ kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.

TANIM2: $X$ ve $Y$ iki küme, $f,g:X\rightarrow{Y}$ iki fonksiyon olsun. $\forall{x}\in{X}, f(x)=g(x)$ ise $f$ ve $g$ fonksiyonlarına eşittir denir ve $f=g$ ile gösterilir.

TANIM3: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ fonksiyon olsun. $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow{x_{1}=x_{2}}$ koşulu sağlanıyorsa $f$ 'e birebir fonksiyon denir. Bazen birebir yazmak yerine 1-1 sembolü kullanılır. 1-1'lik koşulu $x_{1}\ne{x_{2}}\Rightarrow{f(x_{1})\ne{f(x_{2})}}$ koşulu ile denk olduğundan 1-1 fonksiyonun tanımı bu biçimde de verilebilir. Tanımından da anlaşılacağı gibi birebir bir fonksiyon iki farklı elemanı aynı elemana götürmeyen fonksiyondur.

TANIM4: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ fonksiyon olsun. $\forall{y}\in{Y}, \exists{x}\in{X} : f(x)=y$ koşulu sağlanıyorsa $f$ 'e örten fonksiyon denir. Yani $Y$ 'deki tüm elemanlara $X$ kümesinden en az bir eleman karşılık getiren fonksiyona örten fonksiyon denir.

TANIM5: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ fonksiyon olsun. Eğer $f$ hem 1-1 hem de örtense $f$ 'e bir tam eşleme denir. Tam eşlemeye örnek olarak Örnek1'deki birim fonksiyon verilebilir.

ÖRNEK6: Aşağıdaki $f$ , $g$ ve $h$ fonksiyonlarını inceleyelim:

$X$ 'deki her bir eleman $Y$ 'deki farklı bir farklı elemanla eşleştiğinden $f$ 1-1'dir. Fakat $e\in{Y}$ için $f(x)=e$ olacak biçimde bir $x\in{X}$ bulunmadığından örten değildir.

$B$ 'deki her bir eleman $A$ 'daki en az bir elemanın görüntüsü olduğundan $(g(2)=a, g(5)=b, g(1)=c, g(4)=d)$ $g$ örtendir. Fakat $g(3)=g(4)$ olmasına rağmen $3\ne{4}$ olduğundan 1-1 değildir.

$S$ 'deki her bir eleman $T$ 'deki farklı bir elemanla eşleştiğinden ve $T$ 'deki her bir eleman $S$ 'deki en az bir elemanın görüntüsü olduğundan $h$ 1-1 ve örtendir.

Yukarıdaki 3 örnekte görüldüğü gibi 1-1'lik için gerek ve yeter şart, tanım kümesindeki okların farklı farklı yönlere gitmesi, örtenlik için gerek ve yeter şart ise, değer kümesindeki her bir elemana tanım kümesinden en az bir ok gelmesidir. Fakat bu, sonlu kümeler için böyledir. Sonsuz kümeleri Venn şemasında gösteremeyeceğimiz için yukarıdaki gösterimleri kullanamayız. Sonsuz kümeler üzerindeki fonksiyonları 1-1 ve örtenliğine bakmak için farklı yöntemler vardır. Aşağıda bununla ilgili örnekler mevcuttur:

ÖRNEK7: $a,b\in{\mathbb{R}}$ , $a\ne{0}$ , $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ , $\forall{x}\in{\mathbb{R}},$ $f(x)=ax+b$ olarak tanımlansın.

$x_{1},x_{2}\in{\mathbb{R}}, f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow{ax_{1}+b=ax_{2}+b}\Rightarrow{ax_{1}=ax_{2}\land{a\ne{0}}}$ $\Rightarrow{x_{1}=x_{2}}$ olduğundan $f$ 1-1'dir.

$\forall{y}\in{\mathbb{R}}, x=\displaystyle{\frac{y-b}{a}}$ olarak alınırsa $f(x)=\displaystyle{f(\frac{y-b}{a})=a\frac{y-b}{a}+b=y-b+b=y}$ olur. O halde $f$ örtendir. $f$ , 1-1 ve örten olduğundan bir tam eşlemedir.

ÖRNEK8: $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}$ , $\forall{x}\in{\mathbb{R}},$ $f(x)=x^{2}$ olarak tanımlansın.

$-1,1\in{\mathbb{R}}, -1\ne{1}$ olduğu halde $f(-1)=(-1)^{2}=1=1^{2}=f(1)$ olduğundan $f$ 1-1 değildir.

$y=-1\in{\mathbb{R}}$ için $f(x)=x^{2}=-1$ olacak biçimde bir $x\in{\mathbb{R}}$ bulunmadığından $f$ örten de değildir.

ÖRNEK9: $f:\mathbb{R}\rightarrow{[0,+\infty)}$ , $\forall{x}\in{\mathbb{R}},$ $f(x)=x^{2}$ olarak alalım. Fonksiyon aslında Örnek7'deki ile aynı fonksiyondur, ama değer kümesi değiştirilmiştir. Şimdi bu koşullar altında 1-1 ve örtenliği inceleyelim:

$y\in{[0+\infty)}$ olsun. $y\ge{0}$ olduğundan $\sqrt{y}$ mevcuttur. $x=\sqrt{y}\in{\mathbb{R}}$ olarak alalım. O halde $f(x)=f\left( \sqrt{y} \right)=\left( \sqrt{y} \right)^{2}=|y|=y$ olduğundan $f$ örtendir. Fakat yine $-1,1\in{\mathbb{R}}$ için $f(-1)=f(1)=1$ olduğundan $f$ 1-1 değildir.

ÖRNEK10: Bu kez $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ fonksiyonunu $f:[0,+\infty)\to [0,+\infty)$ olarak düşünelim. Bu durumda Örnek9’dakine benzer biçimde $f$ ’in örten olduğu ispatlanır. Şimdi 1-1’liğe bakalım. ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in [0,+\infty )$ için

$f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)\Rightarrow x_{1}^{2}=x_{2}^{2}\Rightarrow \sqrt{x_{1}^{2}}=\sqrt{x_{2}^{2}}\Rightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ olduğundan $f$ 1-1’dir.

Örnek 8, Örnek9 ve Örnek10 bize gösteriyor ki, bir fonksiyonun tanım ve değer kümesine bağlı olarak 1-1 veya örtenliği değişebilir. $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ fonksiyonunun 1-1 veya örten olup olmadığı sorulduğu zaman, cevap vermeden önce şu soruyu sormak lazımdır: Hangi kümeden hangi kümeye?

ÖNERME1: $X$ ve $Y$ $n$ elemanlı iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon olsun. Bu takdirde,

$f$ 1-1'dir $\iff$ örtendir.

İSPAT:

Yukarıdaki teorem yalnızca sonlu kümelerde geçerlidir. Sonsuz kümelerde örten fonksiyon 1-1, 1-1 fonksiyon örten olmak zorunda değildir. Örneğin $f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}, f(x)=e^{x}$ fonksiyonu 1-1'dir. Ancak negatif değerler almadığından örten değildir.

TANIM6: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ fonksiyon, $A\subset{X}$ ve $B\subset{Y}$ olsun.

$f(A)=\{f(x)\text{ }\vert\text{ }x\in{A}\}$ ,

$f^{-1}(B)=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }f(x)\in{B}\}$

şeklinde tanımlanan kümelere sırasıyla " $A$ kümesinin $f$ altındaki görüntüsü" ve " $B$ kümesinin $f$ altındaki ters görüntüsü" denir. Tanımdan görüldüğü üzere $f(A)$ , $A$ 'daki elemanların görüntülerinden, $f^{-1}(B)$ ise görüntüsü $B$ kümesinde olan $X$ 'in elemanlarından oluşur. Özel olarak $A=X$ olarak alınırsa $f(X)=Imf$ olarak gösterilir. $f(A)\subset{Y}$ , $f^{-1}(B)\subset{X}$ olduğu ve $f(\emptyset)=\emptyset, f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ olduğu açıktır.

ÖRNEK11: $X=\{1,2,3,4\}, Y=\{a,b,c,d,e\}, f(1)=a, f(2)=e, f(3)=e, f(4)=d$ , $A_{1}=\{1,4\}$ , $A_{2}=\{2,3\}$ , $A_{3}=\{1,2,4\}$ , $A_{4}=X$ , $B_{1}=\{e\}$ , $B_{2}=\{b,c\}$ , $B_{3}=\{a,b,c,d\}$ ve $B_{4}=Y$ olsun.

Bu durumda;

$f(A_{1})=\{a,d\}$ ,

$f(A_{2})=\{e\}$ ,

$f(A_{3})=\{a,d,e\}$ ,

$f(A_{4})=f(X)=\{a,d,e\}$ ,

$f^{-1}(B_{1})=\{2,3\}$ ,

$f^{-1}(B_{2})=\emptyset$ ,

$f^{-1}(B_{3})=\{1,4\}$ ,

$f^{-1}(B_{4})=f^{-1}(Y)=X$

olur.

ÖNERME2: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon, $A,B\subset{X}$ , $C,D\subset{Y}$ olsun. Bu takdirde,

a) $A\subset{B}\Rightarrow{f(A)\subset{f(B)}}$ ,

b) $C\subset{D}\Rightarrow{f^{-1}(C)\subset{f^{-1}(D)}}$

sağlanır.

İSPAT:

ÖNERME3: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon, $I$ ve $\Lambda$ iki indis kümesi, $\{A_{i}\}_{i\in{I}}\subset{\mathbf{P}(X)}$ ve $\{B_{\lambda}\}_{\lambda\in{\Lambda}}\subset{\mathbf{P}(Y)}$ kümeler ailesi olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:

a) $\displaystyle{f\Big{(}\bigcup_{i\in{I}}{A_{i}}\Big{)}=\bigcup_{i\in{I}}{f(A_{i})}}$ ,

b) $\displaystyle{f\Big{(}\bigcap_{i\in{I}}{A_{i}}\Big{)}\subset{\bigcap_{i\in{I}}{f(A_{i})}}}$ ,

c) $\displaystyle{f^{-1}\Big{(}\bigcup_{\lambda\in{\Lambda}}{B_{\lambda}}\Big{)}=\bigcup_{\lambda\in{\Lambda}}{f^{-1}(B_{\lambda})}}$ ,

d) $\displaystyle{f^{-1}\Big{(}\bigcap_{\lambda\in{\Lambda}}{B_{\lambda}}\Big{)}=\bigcap_{\lambda\in{\Lambda}}{f^{-1}(B_{\lambda})}}$ .

İSPAT:

SONUÇ1: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon, $A,B\subset{X}$ ve $C,D\subset{Y}$ olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:

a) $f(A\cup{B})=f(A)\cup{f(B)}$ ,

b) $f(A\cap{B})\subset{f(A)\cap{f(B)}}$ ,

c) $f^{-1}(C\cup{D})=f^{-1}(C)\cup{f^{-1}(D)}$ ,

d) $f^{-1}(C\cap{D})=f^{-1}(C)\cap{f^{-1}(D)}$ .

Önerme3'de ve onun bir sonucu olan Sonuç1'de dikkatleri çeken bir durum vardır. Tabiki "b" şıkkı. Diğer bütün şıklarda eşitlik varken "b" şıkkında sadece altküme özelliği verilebiliyor. Bu ilginç bir özelliktir. Altküme olduğuna göre eşit de olabilir. Önermeye göre bazı durumlarda eşitlik sağlanır, bazı durumlarda ise sağlanmaz. Eşitliğin sağlandığına dair örnek için hemen birim fonksiyon verilebilir. Peki eşitliğin sağlanmadığına dair bir örnek var mı? Aşağıdaki örnek bu sorunun yanıtıdır:

ÖRNEK12: $X=\{1,2\}$ , $Y=\{a\}$ , $f:X\rightarrow{Y}$ fonksiyonu $f(1)=a$ ve $f(2)=a$ olarak tanımlansın. Açıktır ki $f$ bir fonksiyondur. $A=\{1\}$ ve $B=\{2\}$ olarak alalım. $A\cap{B}=\emptyset$ olduğundan $f(A\cap{B})=\emptyset$ 'dir. Öte yandan $f(A)=f(B)=\{a\}$ olduğundan $f(A)\cap{f(B)}=\{a\}$ 'dır. Görüldüğü gibi $f(A\cap{B})\subsetneqq{f(A)\cap{f(B)}}$ 'dir. Dolayısıyla bazı durumlarda eşitliğin sağlanmadığına dair örnek mevcuttur.

Bazı durumlarda eşitlik sağlanıyor, bazı durumlarda ise sağlanmıyor. Peki, eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kesin öğrenebileceğimiz bir kriter var mıdır? Aşağıdaki önerme bu sorunun cevabıdır:

ÖNERME4: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon olsun. Bu takdirde,

$\forall{A,B}\subset{X}, f(A\cap{B})=f(A)\cap{f(B)}\Leftrightarrow{f}$ , 1-1'dir.

İSPAT:

ÖNERME5: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır:

a) $\forall{A}\subset{X}, A\subset{f^{-1}(f(A))}$ ,

b) $\forall{B}\subset{Y}, f(f^{-1}(B))\subset{B}$ .

İSPAT:

ÖNERME6: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon olsun. Bu takdirde,

a) $f$ , 1-1'dir $\iff$ $\forall{A}\subset{X}, f^{-1}(f(A))=A$ ,

b) $f$ , örtendir $\iff$ $\forall{B}\subset{Y}, f(f^{-1}(B))=B$ ,

c) $f$ , 1-1 ve örtendir $\iff$ $\forall{A}\subset{X}, f(A^{C})=f(A)^{C}$ .

İSPAT:

TANIM7: $X,Y,Z$ kümeler, $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ fonksiyonlar olsun. $g\circ f:X\to Z$ , $\forall x\in X,\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)$ şeklinde tanımlanan fonksiyona $f$ ve $g$ fonksiyonlarının bileşkesi denir.

ÖRNEK13: $X=Y=Z=\mathbb{R}$ , $f\left( x \right)=\sin x$ ve $g\left( x \right)={{e}^{x}}$ ise $\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( \sin x \right)={{e}^{\sin x}}$ olur.

$g\circ f$ bileşke fonksiyonunun var olabilmesi için $f$ ’in değer kümesi ile $g$ ’nin tanım kümesi çakışık olmalıdır. $g\circ f$ ve $f\circ g$ var olduğu durumda $g\circ f=f\circ g$ olmak zorunda mıdır? Bunu bir örnekle açıklayalım:

ÖRNEK14: $X=Y=Z=\mathbb{R}$ , $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ ve $g\left( x \right)=x+1$ olsun. Bu durumda, $\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{x}^{2}} \right)={{x}^{2}}+1$ , $\left( f\circ g \right)\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( x+1 \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}$ olur ve görülür ki $g\circ f\ne f\circ g$ ’tir. $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ ve $g\left( x \right)=x+1$ olarak seçtiğimizde, $g\circ f\ne f\circ g$ olduğunu gördük. $f$ ve $g$ yerine başka fonksiyonlar aldığımızda da $g\circ f\ne f\circ g$ olmak zorunda mıdır? Bu sorunun cevabı hayırdır. Örneğin $f\left( x \right)=2x$ ve $g\left( x \right)=3x$ alırsak, $\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( 2x \right)=3\left( 2x \right)=6x$ ve $\left( f\circ g \right)\left( x \right)=f\left( g\left( x \right) \right)=f\left( 3x \right)=2\left( 3x \right)=6x$ olur. Yani $f\left( x \right)=2x$ ve $g\left( x \right)=3x$ olarak seçtiğimizde $g\circ f=f\circ g$ olabiliyor. Buradan şöyle bir sonuç çıkıyor: $g\circ f$ ve $f\circ g$ var olduğu durumda $g\circ f$ ve $f\circ g$ eşit de farklı da olabilir.

ÖNERME7: $X$ ve $Y$ iki küme, $f:X\to Y$ bir fonksiyon olsun. Bu takdirde $f\circ {{I}_{X}}=f$ ve ${{I}_{Y}}\circ f=f$ ’tir.

İSPAT:

ÖNERME8: $X,Y,Z,T$ kümeler, $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ , $h:Z\to T$ fonksiyonlar olsun. Bu takdirde $h\circ \left( g\circ f \right)=\left( h\circ g \right)\circ f$ ’tir.

İSPAT:

ÖNERME9: $X,Y$ ve $Z$ kümeler, $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ fonksiyonlar olsun. Bu takdirde,

i) $f$ ve $g$ 1-1 ise $g\circ f$ da 1-1’dir.

ii) $f$ ve $g$ örten ise $g\circ f$ da örtendir.

iii) $g\circ f$ 1-1 ise $f$ de 1-1’dir.

iv) $g\circ f$ örten ise $g$ de örtendir.

İSPAT:

TANIM8: $X,Y\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ fonksiyon olsun.

i) $f\circ R={{I}_{Y}}$ olacak biçimde $R:Y\to X$ fonksiyonu varsa $R$ ’ye $f$ ’in sağ tersi,

ii) $L\circ f={{I}_{X}}$ olacak biçimde $L:Y\to X$ fonksiyonu varsa $L$ ’ye $f$ ’in sol tersi denir.

(i) ve (ii) tanımları şu biçimde de verilebilir:

i*) $\forall y\in Y,\left( f\circ R \right)\left( y \right)=y$ olacak biçimde $R:Y\to X$ fonksiyonu varsa $R$ ’ye $f$ ’in sağ tersi,

ii*) $\forall x\in X,\left( L\circ f \right)\left( x \right)=x$ olacak biçimde $L:Y\to X$ fonksiyonu varsa $L$ ’ye $f$ ’in sol tersi denir.

ÖNERME10: $X,Y\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. Bu takdirde,

i) $f$ ’in sağ tersi vardır $\Leftrightarrow$ $f$ örtendir.

ii) $f$ ’in sol tersi vardır $\Leftrightarrow$ $f$ 1-1’dir.

İSPAT:

Bir fonksiyonun sağ tersi varsa sol tersi olmak zorunda değildir. Benzer şekilde sol tersi varsa sağ tersi olmak zorunda değildir. Bunu örneklerle açıklayalım:

ÖRNEK15: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f\left( x \right)={{e}^{x}}$ fonksiyonunu inceleyelim:

$g:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}},\; g(y)=\bigg\{$ $\ln{y},\: y>0\\0,\:\:\:\:\: y\le{0}$

olarak tanımlarsak,

$\forall x\in \mathbb{R}$ , ${{e}^{x}}>0$ olduğundan $\left( L\circ f \right)\left( x \right)=L\left( f\left( x \right) \right)=L\left( {{e}^{x}} \right)=\ln {{e}^{x}}=x$ olur. Buna göre $L$ , $f$ ’in sol tersi olur.

Örnek15’da verdiğimiz $f$ fonksiyonu 1-1 olduğundan bir sol tersi mevcut oldu. Fakat $f\left( x \right)={{e}^{x}}$ fonksiyonu örten olmadığından Önerme10’a göre bir sağ tersi yoktur. Örnek15 bize bir fonksiyonun sağ tersi olmadığı halde sol tersinin olabileceğini gösterir.

ÖRNEK16: $f:\mathbb{R}\to [0,+\infty)$ , $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ fonksiyonunu ele alalım. Bu bir örten fonksiyon olduğundan sağ tersi vardır. $R:[0,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $\forall y\in [0,+\infty)$ , $R\left( y \right)=\sqrt{y}$ olarak tanımlayalım. O halde $\forall y\in [0,+\infty)$ , $\left( f\circ R \right)\left( y \right)=f\left( R\left( y \right) \right)=f\left( \sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}=y$ olduğundan $R$ , $f$ ’in sağ tersidir. Önerme10’a göre $f$ fonksiyonu 1-1 olmadığından sol tersi olamaz.

ÖNERME11: $X,Y,Z,T\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ , ${{f}_{1}},{{f}_{2}}:T\to X$ , ${{g}_{1}},{{g}_{2}}:Y\to Z$ fonksiyonlar olsun. Bu takdirde,

i) $f$ , 1-1 ve $f\circ {{f}_{1}}=f\circ {{f}_{2}}$ ise ${{f}_{1}}={{f}_{2}}$ (1-1 fonksiyon sol kısalma özelliğine sahiptir)

ii) $f$ , örten ve ${{g}_{1}}\circ f={{g}_{2}}\circ f$ ise ${{g}_{1}}={{g}_{2}}$ (örten fonksiyon sağ kısalma özelliğine sahiptir)

İSPAT:

Sol ve sağ tersin tanımı ve özelliklerini verdikten sonra, şimdi de ters fonksiyonun tanımına giriş yapalım:

$X,Y\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun hem $R$ sağ hem de $L$ sol tersi olsun. Bu takdirde,

$L=L\circ {{I}_{Y}}=L\circ \left( f\circ R \right)=\left( L\circ f \right)\circ R={{I}_{X}}\circ R=R$ elde edilir. Bunun anlamı şudur: Bir fonksiyonun hem sağ hem de sol tersi varsa, birbirine eşittir. İşte bu hem sağ hem de sol ters olan fonksiyona $f$ ’in ters fonksiyonu denir. Şimdi bu ters fonksiyonun tanımını daha düzgün biçimde verelim:

TANIM9: $X,Y\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. $g\circ f={{I}_{X}}$ ve $f\circ g={{I}_{Y}}$ olacak biçimde $g:Y\to X$ fonksiyonu varsa $g$ ’ye $f$ ’in ters fonksiyonu denir.

ÖNERME12: $X,Y\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ fonksiyon olsun. Bu takdirde $f$ ’in tersinin var olabilmesi için gerek ve yeter koşul bu fonksiyonun 1-1 ve örten olmasıdır.

İSPAT: Bu ispat Önerme10’dan direkt elde edilir.

ÖRNEK17: $f:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{+}}$ , $f\left( x \right)={{e}^{x}}$ olarak alırsak $g:{{\mathbb{R}}^{+}}\to \mathbb{R}$ , $g\left( y \right)=\ln y$ fonksiyonu $f$ ’in tersi olur. Çünkü

$\forall x\in \mathbb{R},\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{e}^{x}} \right)=\ln {{e}^{x}}=x$ ,

$\forall y\in {{\mathbb{R}}^{+}},\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \ln y \right)={{e}^{\ln y}}=y$ .

ÖRNEK18: $f:[0,+\infty)\to [0,+\infty)$ , $f\left( x \right)={{x}^{2}}$ olarak alırsak $g:[0,+\infty)\to [0,+\infty)$ , $g\left( y \right)=\sqrt{y}$ fonksiyonu $f$ ’in tersi olur. Çünkü

$\forall x\in [0,+\infty),\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( {{x}^{2}} \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|=x$ ,

$\forall y\in [0,+\infty),\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \sqrt{y} \right)={{\left( \sqrt{y} \right)}^{2}}=y$ .

ÖRNEK19: $\displaystyle{f:\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)\to \mathbb{R}}$ , $f\left( x \right)=\tan x$ olarak alırsak $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}$ , $g\left( y \right)=\arctan y$ fonksiyonu $f$ ’in tersi olur. Çünkü

$\displaystyle{\forall x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right),\left( g\circ f \right)\left( x \right)=g\left( f\left( x \right) \right)=g\left( \tan x \right)=\arctan \left( \tan x \right)=x}$ ,

$\forall y\in \mathbb{R},\left( f\circ g \right)\left( y \right)=f\left( g\left( y \right) \right)=f\left( \arctan y \right)=\tan \left( \arctan y \right)=y$ .

$X,Y\ne \varnothing$ kümeler ve ${{g}_{1}},{{g}_{2}}:Y\to X$ fonksiyonları $f:X\to Y$ fonksiyonunun iki tersi olsun. ${{g}_{1}}$ , $f$ ’in tersi olduğundan aynı zamanda sol tersidir. Benzer şekilde ${{g}_{2}}$ de $f$ ’in tersi olduğundan aynı zamanda sağ tersidir. Bir fonksiyonun sol ve sağ tersleri eşit olduğundan ${{g}_{1}}={{g}_{2}}$ olduğu elde edilir. Sonuç olarak, bir fonksiyonun tersi varsa tektir. Bu tek ters fonksiyon ${{f}^{-1}}$ ile gösterilir.

ÖNERME13: $X,Y,Z\ne \varnothing$ kümeler, $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ fonksiyonlar olsun. Bu takdirde,

i) $f$ ’in tersi varsa, ${{f}^{-1}}$ fonksiyonunun da tersi vardır ve ${{\left( {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}=f$ ’tir. Ayrıca ${{f}^{-1}}$ , 1-1 ve örtendir.

ii) $f$ ’in ve $g$ ’nin tersi $g\circ f$ ’in de tersi vardır ve ${{\left( g\circ f \right)}^{-1}}={{f}^{-1}}\circ {{g}^{-1}}$ ’dir.

İSPAT:

TEOREM1: $X\ne \varnothing$ bir küme $G=\{f\;|\;f:X\rightarrow{X}\:\:\text{1-1 ve orten fonksiyondur}\}$ olsun. Bu takdirde $(G,\circ)$ , ${{I}_{X}}$ birim elamanlı bir gruptur. $G$ ’nin değişmeli olması için gerek ve yeter koşul $\left| X \right|\le 2$ olmasıdır.

İSPAT:

TANIM10: $X\ne \varnothing$ bir küme, $f:X\to X$ fonksiyon ve $n\in \mathbb{N}$ olsun. Bu takdirde ${{f}^{0}}={{I}_{X}}$ , ${{f}^{1}}=f$ , ${{f}^{2}}=f\circ f$ ve