e sayısının irrasyonelliği üzerine

On 24 Mart 2010, in Matematik, by admin

\pi sayısı gibi e sayısı da, çoğu yerde karşımıza çıkan, matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde;

f\left( x \right)=c\cdot {{e}^{x}}\,\left( c, \text{herhangi bir sabit} \right)

fonksiyonu, türevi kendisi olan tek fonksiyondur. e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}dizisinin limitidir. Bu ispatta e sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeği kullanılmıştır.

\pi sayısı gibi e sayısı da irrasyoneldir. Herhangi bir irrasyonel sayının, aralarında asal p ve q tamsayılarının bölümü

\displaystyle{\frac{p}{q}\,\left( (p,q)=1,\,p\in \mathbb{Z},\,q\in \mathbb{Z}\backslash \{0\} \right)}

şeklinde yazılamayacağından yola çıkılarak, e sayısının rasyonel olmadığı kolayca ispatlanır.

Aşağıda vereceğimiz, popüler ispat Joseph Fourier’a aittir:

\displaystyle{e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=\frac{p}{q}}  \displaystyle{\left( p,q\in{{\mathbb{Z}}^{+}}, (p,q)=1 \right)} olsun.

Yukardaki eşitliğin her iki tarafını q! ile çarpalım:

\displaystyle{q!\cdot e=q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\frac{q!}{4!}+\cdots +\frac{q!}{q!}+\cdots=(q-1)!p}

olduğundan, q!\cdot e sayısı bir tamsayıdır ve dolayısıyla

\displaystyle{q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\frac{q!}{4!}+\cdots +\frac{q!}{q!}+\cdots}

toplamı da bir tamsayıdır. \displaystyle{q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\frac{q!}{4!}+\cdots +\frac{q!}{q!}} sonlu toplamı da bir tamsayı olduğundan

\displaystyle{\frac{q!}{q!}} dan sonra gelen terimlerin toplamı da bir tamsayı olmalıdır. Bu toplama R dersek:

\displaystyle{R=q!\left( \frac{1}{(q+1)!}+\frac{1}{(q+2)!}+\frac{1}{(q+3)!}+\cdots \right)}

\displaystyle{=\frac{1}{\left( q+1 \right)}+\frac{1}{\left( q+2 \right)\cdot \left( q+2 \right)}+\frac{1}{\left( q+1 \right)\cdot \left( q+2 \right)\cdot \left( q+3 \right)}+\cdots}

\displaystyle{<\frac{1}{\left( q+1 \right)}+\frac{1}{{{\left( q+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( q+1 \right)}^{3}}}+\cdots}

\displaystyle{=\frac{1}{q+1}\left[ 1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^{2}}+\cdots \right]}

\displaystyle{=\left( \frac{1}{q+1} \right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}} \right)=\left( \frac{1}{q+1} \right) \left( \frac{q+1}{q} \right)=\frac{1}{q}}

Yani \displaystyle{R<\frac{1}{q}}  bulunur. R nin tanımına bakarsak, q pozitif olduğundan R de pozitiftir. Böylece R, 0 ve \displaystyle{\frac{1}{q}} arasında pozitif bir tamsayıdır. Bu bir çelişkidir. Sonuçta e sayısının rasyonel olduğu kabulü yanlıştır. O halde e irrasyoneldir.

If you enjoyed this article, please consider sharing it!
Facebook Twitter Delicious Digg

Tagged with: • • • • • • • • • • • • • • •  

6 Responses to e sayısının irrasyonelliği üzerine

  1. sibel diyor ki:
    13 Ekim 2011, 20:21

    ( $laex q!\cdot e$ ) olan bolum nedir acaba? ve R= li işlemin altındaki satırda 1/(q+1)+1/(q+2)(q+2) ... yazılmıs 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2) ... olması gerekmez mi? Bunun haricinde kanıt çok hoş :)

    Cevapla
  2. meraklı diyor ki:
    13 Temmuz 2011, 11:51

    ik saattir anlamadığım bi şey var.. aradım durdum.. " IR" nedir? irrasyonel mi? cevap verirseniz sevinirim..

    Cevapla
  3. alperen diyor ki:
    17 Eylül 2010, 04:02

    Çok güzel ispat ama anlamadığım bir sey var yada unutmuş oldugum bir sey. Bu serinin toplamının e olduğunu nasıl ispatlıyorduk. Yani (1/1!)+(1/2!)+........=e oldugunu nasıl buluyorduk. Sanırım serilerin ispatını bilmek lazım.

    Cevapla

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>