Denklik Bağıntısı

On 25 Ağustos 2009, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir küme $R\subset{X\times{X}}$ bir bağıntı olsun. Eğer $R$ , yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise $R$ 'ye bir denklik bağıntısı denir ve genelde $R=\sim$ biçiminde gösterilir.

TANIM2: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a\in{X}$ olsun. $\overline{a}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }a\sim{x}\}\subset{X}$ kümesine $a$ 'nın denklik sınıfı denir. $a$ 'nın denklik sınıfı bazı kaynaklarda $[a]_{\sim}$ olarak da gösterilir. $\forall{a}\in{X}$ , $a\in{\overline{a}}$ olduğundan $\overline{a}\ne{\emptyset}$ 'dir.

TANIM3: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a,b\in{X}$ olsun. Eğer $b\in{\overline{a}}$ ise $b$ 'ye $\overline{a}$ sınıfının bir temsilcisi denir.

ÖNERME1: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a,b\in{X}$ olsun. Bu taktirde:

$a\sim{b}\Leftrightarrow{a\in{\overline{b}}}\Leftrightarrow{\overline{a}=\overline{b}}\Leftrightarrow{b\in{\overline{a}}}$

dir.

İSPAT:

TEOREM1: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Bu takdirde $\{\overline{a}\text{ }\vert\text{ }a\in{X}\}\subset{\mathbf{P}(X)}$ kümeler ailesi $X$ 'in bir ayrışımını verir.

İSPAT:

ÖRNEK1: $n$ sabit bir pozitif tamsayı olsun. $R\subset{\mathbb{Z}\times{\mathbb{Z}}}$ bağıntısını $xRy\Leftrightarrow{n\mid{x-y}}\Leftrightarrow{\exists{k\in{\mathbb{Z}}}: x-y=kn}$ olarak tanımlayalım.

(i) $\forall{x}\in{\mathbb{Z}}$ , $x-x=0$ ve $n\mid{0}$ olduğundan $xRx$ 'tir. Dolayısıyla $R$ yansıyandır.

(ii) $xRy$ olsun. O halde $\exists{k\in{\mathbb{Z}}}: x-y=kn$ $\Rightarrow{y-x=(-k)n}$ ve $-k\in{\mathbb{Z}}$ olduğundan $yRx$ 'tir. Dolayısıyla $R$ simetriktir.

(iii) $xRy$ ve $yRz$ olsun. O halde $\exists{k,l\in{\mathbb{Z}}}: x-y=kn$ ve $y-z=ln$ $\Rightarrow{x-z=(x-y)+(y-z)=kn+ln=(k+l)n}$ ve $k+l\in{\mathbb{Z}}$ olduğundan $xRz$ 'dir. Dolayısıyla $R$ geçişkendir.

O halde $R$ bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısını $R=\sim_{n}$ olarak gösterelim. Şimdi $n=2$ durumunda bu bağıntının denklik sınıflarını inceleyelim. $0\in{\mathbb{Z}}$ ve $1\in{\mathbb{Z}}$ elemanlarının denklik sınıflarını bulalım. Teorem1'e göre biliyoruz ki $0\nsim_{2}1$ olduğundan $\overline{0}\cap{\overline{1}}=\emptyset$ 'dir. $x\in{\mathbb{Z}}$ bir çift sayı olsun. $2\mid{x-0}$ olduğundan $x\sim_{2}0$ 'dır. $y\in{\mathbb{Z}}$ bir tek sayı olsun. $2\mid{y-1}$ olduğundan $y\sim_{2}1$ 'dir. Çift sayılar kümesini $2\mathbb{Z}$ ile, tek sayılar kümesini de $2\mathbb{Z}+1$ ile gösterirsek $\overline{0}=2\mathbb{Z}$ ve $\overline{1}=2\mathbb{Z}+1$ 'dir. Tüm tamsayılar ya $0$ 'a ya da $1$ 'e denk olduğundan tamsayılar kümesinde bu bağıntının başka bir denklik sınıfı yoktur. O halde Teorem1'e göre $2\mathbb{Z}\cap{2\mathbb{Z}+1}=\emptyset$ ve $2\mathbb{Z}\cup{2\mathbb{Z}+1}=\mathbb{Z}$ 'dir. Daha genel olarak $\sim_{n}$ bağıntısının denklik sınıfları $n\mathbb{Z}, n\mathbb{Z}+1, n\mathbb{Z}+2,\dots, n\mathbb{Z}+(n-1)$ 'dir. Dolayısıyla Teorem1'e göre $k\ne{l}$ olan $\forall{k,l}\in{\{0,1,\dots,n-1\}}$ ,

( $n\mathbb{Z}+k)\cap{(n\mathbb{Z}+l})=\emptyset$

$\displaystyle{\bigcup_{k=0}^{n}(n\mathbb{Z}+k)=\mathbb{Z}}$

dir.

ÖRNEK2: $X$ ile düzlemdeki tüm doğruları gösterelim. $R\subset{X\times{X}}$ doğrular arasındaki diklik bağıntısı olsun. Doğrular kendilerine dik olmadığından $R$ bir denklik bağıntısı değildir.

ÖRNEK3: $X$ ile düzlemdeki tüm doğruları gösterelim. $R\subset{X\times{X}}$ doğrular arasındaki paralellik bağıntısı olsun.

(i) $\forall{d}\in{X}$ , $d//d$ olduğundan $R$ yansıyan,

(ii) $d_{1}$ , $d_{2}$ 'ye paralel ise $d_{2}$ de $d_{1}$ 'e paralel olduğundan $R$ simetrik,

(iii) $d_{1}$ , $d_{2}$ 'ye ve $d_{2}$ , $d_{3}$ 'e paralel ise $d_{1}$ , $d_{3}$ 'e paralel olduğundan $R$ geçişkendir. Dolayısıyla düzlemdeki doğrular arasındaki paralellik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.

ÖRNEK4: $X,Y$ herhangi iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon olsun. $R\subset{X\times{X}}$ bağıntısını $aRb\Leftrightarrow{f(a)=f(b)}$ olarak tanımlayalım.

(i) $\forall{a}\in{X}, f(a)=f(a)\Rightarrow{aRa}$ olduğundan $R$ yansıyan,

(ii) $aRb\Rightarrow{f(a)=f(b)}\Rightarrow{f(b)=f(a)}\Rightarrow{bRa}$ olduğundan $R$ simetrik,

(iii) $aRb\land{bRc}\Rightarrow{f(a)=f(b)\land{f(b)=f(c)}}\Rightarrow{f(a)=f(c)}\Rightarrow{aRc}$ olduğundan $R$ geçişkendir.

O halde $R$ bir denklik bağıntısıdır.

Teorem1'de gösterdik ki boştan farklı bir küme üzerindeki bir denklik bağıntısının denklik sınıfları o kümenin boştan farklı bir parçalanışını verir. Şimdi ise bunun tersini gösterelim. Yani boştan farklı bir kümenin boştan farklı bir parçalanışı verildiğinde o parçalanışı denklik sınıfları kabul eden bir denklik bağıntısının varlığını ispat edelim:

TEOREM2: $X\ne{\emptyset}$ bir küme, $I\ne{\emptyset}$ bir indis kümesi, $\{A_{i}\}_{i\in{I}}$ ailesi $X$ 'in bir parçalanışı olsun ve $\forall{i\in{I}}, A_{i}\ne{\emptyset}$ sağlansın. $R\subset{X\times{X}}$ bağıntısını, $a,b\in{X}$ olmak üzere $aRb\Leftrightarrow{\exists{i\in{I}}: a,b\in{A_{i}}}$ olarak tanımlayalım. Bu takdirde $R$ , denklik sınıfları $\{A_{i}\}_{i\in{I}}$ ailesi olan bir denklik bağıntısıdır.