Denklik Bağıntısı

On 25 Ağustos 2009, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir küme $R\subset{X\times{X}}$ bir bağıntı olsun. Eğer $R$ , yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise $R$ 'ye bir denklik bağıntısı denir ve genelde $R=\sim$ biçiminde gösterilir.

TANIM2: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a\in{X}$ olsun. $\overline{a}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }a\sim{x}\}\subset{X}$ kümesine $a$ 'nın denklik sınıfı denir. $a$ 'nın denklik sınıfı bazı kaynaklarda $[a]_{\sim}$ olarak da gösterilir. $\forall{a}\in{X}$ , $a\in{\overline{a}}$ olduğundan $\overline{a}\ne{\emptyset}$ 'dir.

TANIM3: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a,b\in{X}$ olsun. Eğer $b\in{\overline{a}}$ ise $b$ 'ye $\overline{a}$ sınıfının bir temsilcisi denir.

ÖNERME1: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a,b\in{X}$ olsun. Bu taktirde:

$a\sim{b}\Leftrightarrow{a\in{\overline{b}}}\Leftrightarrow{\overline{a}=\overline{b}}\Leftrightarrow{b\in{\overline{a}}}$

dir.

İSPAT:

TEOREM1: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. Bu takdirde $\{\overline{a}\text{ }\vert\text{ }a\in{X}\}\subset{\mathbf{P}(X)}$ kümeler ailesi $X$ 'in bir ayrışımını verir.

İSPAT:

ÖRNEK1: $n$ sabit bir pozitif tamsayı olsun. $R\subset{\mathbb{Z}\times{\mathbb{Z}}}$ bağıntısını $xRy\Leftrightarrow{n\mid{x-y}}\Leftrightarrow{\exists{k\in{\mathbb{Z}}}: x-y=kn}$ olarak tanımlayalım.

(i) $\forall{x}\in{\mathbb{Z}}$ , $x-x=0$ ve $n\mid{0}$ olduğundan $xRx$ 'tir. Dolayısıyla $R$ yansıyandır.

(ii) $xRy$ olsun. O halde $\exists{k\in{\mathbb{Z}}}: x-y=kn$ $\Rightarrow{y-x=(-k)n}$ ve $-k\in{\mathbb{Z}}$ olduğundan $yRx$ 'tir. Dolayısıyla $R$ simetriktir.

(iii) $xRy$ ve $yRz$ olsun. O halde $\exists{k,l\in{\mathbb{Z}}}: x-y=kn$ ve $y-z=ln$ $\Rightarrow{x-z=(x-y)+(y-z)=kn+ln=(k+l)n}$ ve $k+l\in{\mathbb{Z}}$ olduğundan $xRz$ 'dir. Dolayısıyla $R$ geçişkendir.

O halde $R$ bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısını $R=\sim_{n}$ olarak gösterelim. Şimdi $n=2$ durumunda bu bağıntının denklik sınıflarını inceleyelim. $0\in{\mathbb{Z}}$ ve $1\in{\mathbb{Z}}$ elemanlarının denklik sınıflarını bulalım. Teorem1'e göre biliyoruz ki $0\nsim_{2}1$ olduğundan $\overline{0}\cap{\overline{1}}=\emptyset$ 'dir. $x\in{\mathbb{Z}}$ bir çift sayı olsun. $2\mid{x-0}$ olduğundan $x\sim_{2}0$ 'dır. $y\in{\mathbb{Z}}$ bir tek sayı olsun. $2\mid{y-1}$ olduğundan $y\sim_{2}1$ 'dir. Çift sayılar kümesini $2\mathbb{Z}$ ile, tek sayılar kümesini de $2\mathbb{Z}+1$ ile gösterirsek $\overline{0}=2\mathbb{Z}$ ve $\overline{1}=2\mathbb{Z}+1$ 'dir. Tüm tamsayılar ya $0$ 'a ya da $1$ 'e denk olduğundan tamsayılar kümesinde bu bağıntının başka bir denklik sınıfı yoktur. O halde Teorem1'e göre $2\mathbb{Z}\cap{2\mathbb{Z}+1}=\emptyset$ ve $2\mathbb{Z}\cup{2\mathbb{Z}+1}=\mathbb{Z}$ 'dir. Daha genel olarak $\sim_{n}$ bağıntısının denklik sınıfları $n\mathbb{Z}, n\mathbb{Z}+1, n\mathbb{Z}+2,\dots, n\mathbb{Z}+(n-1)$ 'dir. Dolayısıyla Teorem1'e göre $k\ne{l}$ olan $\forall{k,l}\in{\{0,1,\dots,n-1\}}$ ,

( $n\mathbb{Z}+k)\cap{(n\mathbb{Z}+l})=\emptyset$

$\displaystyle{\bigcup_{k=0}^{n}(n\mathbb{Z}+k)=\mathbb{Z}}$

dir.

ÖRNEK2: $X$ ile düzlemdeki tüm doğruları gösterelim. $R\subset{X\times{X}}$ doğrular arasındaki diklik bağıntısı olsun. Doğrular kendilerine dik olmadığından $R$ bir denklik bağıntısı değildir.

ÖRNEK3: $X$ ile düzlemdeki tüm doğruları gösterelim. $R\subset{X\times{X}}$ doğrular arasındaki paralellik bağıntısı olsun.

(i) $\forall{d}\in{X}$ , $d//d$ olduğundan $R$ yansıyan,

(ii) $d_{1}$ , $d_{2}$ 'ye paralel ise $d_{2}$ de $d_{1}$ 'e paralel olduğundan $R$ simetrik,

(iii) $d_{1}$ , $d_{2}$ 'ye ve $d_{2}$ , $d_{3}$ 'e paralel ise $d_{1}$ , $d_{3}$ 'e paralel olduğundan $R$ geçişkendir. Dolayısıyla düzlemdeki doğrular arasındaki paralellik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.

ÖRNEK4: $X,Y$ herhangi iki küme, $f:X\rightarrow{Y}$ bir fonksiyon olsun. $R\subset{X\times{X}}$ bağıntısını $aRb\Leftrightarrow{f(a)=f(b)}$ olarak tanımlayalım.

(i) $\forall{a}\in{X}, f(a)=f(a)\Rightarrow{aRa}$ olduğundan $R$ yansıyan,

(ii) $aRb\Rightarrow{f(a)=f(b)}\Rightarrow{f(b)=f(a)}\Rightarrow{bRa}$ olduğundan $R$ simetrik,

(iii) $aRb\land{bRc}\Rightarrow{f(a)=f(b)\land{f(b)=f(c)}}\Rightarrow{f(a)=f(c)}\Rightarrow{aRc}$ olduğundan $R$ geçişkendir.

O halde $R$ bir denklik bağıntısıdır.

Teorem1'de gösterdik ki boştan farklı bir küme üzerindeki bir denklik bağıntısının denklik sınıfları o kümenin boştan farklı bir parçalanışını verir. Şimdi ise bunun tersini gösterelim. Yani boştan farklı bir kümenin boştan farklı bir parçalanışı verildiğinde o parçalanışı denklik sınıfları kabul eden bir denklik bağıntısının varlığını ispat edelim:

TEOREM2: $X\ne{\emptyset}$ bir küme, $I\ne{\emptyset}$ bir indis kümesi, $\{A_{i}\}_{i\in{I}}$ ailesi $X$ 'in bir parçalanışı olsun ve $\forall{i\in{I}}, A_{i}\ne{\emptyset}$ sağlansın. $R\subset{X\times{X}}$ bağıntısını, $a,b\in{X}$ olmak üzere $aRb\Leftrightarrow{\exists{i\in{I}}: a,b\in{A_{i}}}$ olarak tanımlayalım. Bu takdirde $R$ , denklik sınıfları $\{A_{i}\}_{i\in{I}}$ ailesi olan bir denklik bağıntısıdır.

Türkiyenin en iyi uçak bileti satış sitesi.Evden eve nakliyat işlerimlerinizi güvenilir şekilde yapabilirsiniz.Herbalife bilimsel tabanlı kilo kontrolü ürünleri.Orjin krem ile ağrılarınızdan kurtulun.Türkiye’de sex shop denilince akla gelen ilk site.

İSPAT:

Tagged with: analiz 1 • analiz denklik bağıntısı • analiz I vize • ayrışım • bağıntılar • bir kümenin ayrışımı • bir kümenin parçalanışı • denklik • denklik bağıntısı • denklik sınıfı • denklik sınıfları • geçişken • kısmi sıralama bağıntısı • matematikte denklik bağıntısı • parçalanış • simetrik • sınıf temsilcisi • yansıyan • yansıyan simetrik geçişken

Akademik Matematik

Denklik Bağıntısı

Related Posts:

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et

Yararlı Siteler

Son Yorumlar

Kategoriler

Akademik Matematik

Pages

Stay In Touch

More