Bağıntılar

On 17 Temmuz 2009, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ ve $Y$ iki küme olsun. $X\times Y$ 'nin herhangi bir alt kümesine $X$ 'den $Y$ 'ye bir bağıntı denir. Bazı kaynaklarda bağıntının tanımı verilirken $X,Y\ne\emptyset$ olarak verilir ve $X\times Y$ 'nin boştan farklı herhangi bir alt kümesine bağıntı denir. Yani $\emptyset$ bir bağıntı olarak kabul edilmez. Halbuki boşkümenin bir bağıntı olması matematiğin herhangi bir dalına herhangi bir problem yaratmaz. Aksine, boşkümenin bir bağıntı olarak kabul edilmesi topos teoride çok önemli bir rol oynar.

$X, n$ elemanlı, $Y, m$ elemanlı kümeler ise $X\times Y, n.m$ elemanlı bir kümedir. $X$ 'den $Y$ 'ye bir bağıntı aynı zamanda $\mathbf{P}(X\times Y)$ 'nin bir elemanı olduğundan $X$ 'den $Y$ 'ye tüm bağıntıların sayısı $2^{n.m}$ 'dir. $X$ ve $Y$ boş olmayan kümeler ve en az biri sonsuz elemanlı ise $X$ 'den $Y$ 'ye tüm bağıntıların kümesi de sonsuz elemanlıdır.

$R\subset{X\times{Y}}$ boştan farklı bir bağıntı olsun. $(x,y)\in{R}$ ise $x$ 'e $R$ bağıntısına göre $y$ 'ye bağlıdır denir. Bu durum $(x,y)\in{R}$ , $xRy$ ya da $R(x)=y$ gösterimleriyle gösterilir.

ÖRNEK1: $X=\{a,b,c\}, Y=\{1,2\}$ olsun. $X, 3$ elemanlı, $Y, 2$ elemanlı küme olduğundan $X$ 'den $Y$ 'ye $2^{2.3}=2^{6}=64$ bağıntı vardır. Bunlardan birkaç tanesini verelim:

$R_1=\emptyset$ $R_2=\{(a,1)\}$ $R_3=\{(b,1),(b,2),(c,2)\}$ $R_4=X\times{Y}$

ÖRNEK2: $X=Y=\mathbb{R}$ , $R=\{(x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\text{ }\vert\text{ }x^2=y^2\}$ olsun. $(-1)^2=1^2$ olduğundan $(-1,1)\in{R}$ 'dir. Ya da bu durum $-1R1$ olarak gösterilir. Bağıntının tüm elemanlarını dik koordinat düzleminde gösterelim:

TANIM2: $X$ ve $Y$ iki küme, $R\subset{X\times Y}$ bir bağıntı olsun. $R^{-1}=\{(y,x)\text{ }\vert\text{ }(x,y)\in{R}\}\subset{Y\times X}$ şeklinde tanımlanan kümeye $R$ bağıntısının tersi denir. Eğer $R=\emptyset$ ise $R^{-1}=\emptyset$ olarak tanımlıdır.

ÖRNEK3: Örnek1'deki bağıntıların terslerini bulalım:

$R_1^{-1}=\emptyset$ $R_2^{-1}=\{(1,a)\}$ $R_3^{-1}=\{(1,b),(2,b),(2,c)\}$ $R_4^{-1}=Y\times{X}$

TANIM3: $X,Y,Z$ kümeler $R\subset{X\times{Y}}$ ve $S\subset{Y\times{Z}}$ bağıntılar olsun. $S\circ R=\{(x,z)\text{ }\vert\text{ }x\in{X}, z\in{Z}, \exists y\in{Y}: (x,y)\in{R}\land (y,z)\in{S}\}\subset{X\times{Z}}$ şeklinde tanımlanan yeni bağıntıya $R$ ve $S$ bağıntılarının bileşkesi denir.

ÖRNEK4: $X=\{a,b,c\}$ , $Y=\{1,2,3\}$ , $Z=\{x,y,z\}$ , $R_1=\{(a,1),(a,2),(b,3)\}$ , $R_2=\{(b,2),(b,3)\}$ , $S_1=\{(1,x),(1,z)\}$ ve $S_2=\{(2,z),(3,x)\}$ olsun. Bu durumda:

$S_1\circ{R_1}=\{(a,x),(a,z)\}$ $S_2\circ{R_1}=\{(a,z),(b,x)\}$ $S_1\circ{R_2}=\emptyset$ $S_2\circ{R_2}=\{(b,z),(b,x)\}$

olur.

TANIM4: $X$ bir küme, $R\subset{X\times{X}}$ olsun. (Burada $R$ bağıntısının $X$ 'den $X$ 'e bir bağıntı olduğuna dikkat ediniz. Aşağıda verilecek tanım $R\subset{X\times{X}}$ biçimindeki bağıntılarda verilebilir. Farklı iki küme arasındaki bağıntılarda verilmez):

a) $\forall x\in{X}, aRa$ ise $R$ 'ye "yansıyan" bağıntı,

b) $xRy$ olan $\forall x,y\in{X}$ , $yRx$ ise $R$ 'ye "simetrik" bağıntı,

c) $xRy\land{yRx}$ olan $\forall x,y\in{X}, x=y$ ise $R$ 'ye "ters simetrik" bağıntı,

d) $xRy\land{yRz}$ olan $\forall x,y,z\in{X}$ , $xRz$ ise $R$ 'ye "geçişken" bağıntı denir.

TANIM5: $X$ bir küme $R\subset{X\times{X}}$ bir bağıntı olsun. Eğer $R$ , yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise $R$ 'ye bir kısmi sıralama bağıntısı denir ve genelde $R=\le$ biçiminde gösterilir. $\le$ , $X$ üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise $(X,\le)$ ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM6: $X$ bir küme $R\subset{X\times{X}}$ bir bağıntı olsun. Eğer $R$ , yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise $R$ 'ye bir denklik bağıntısı denir ve genelde $R=\sim$ biçiminde gösterilir.

Tagged with: analiz • analiz 1 vize • bağıntı • bağıntılar • bağıntılar konu anlatımı • bağıntıların bileşkesi • bağıntıların tersi • bağıntının tersi • bir bağıntının tersi • denklik bağıntıları • denklik bağıntılarına örnekler • denklik bağıntısı • denklik bağıntısına örnek • kısmi sıralama bağıntıları • kısmi sıralama bağıntısı • kısmi sıralı küme • matematik bölümü • matematikte bağıntılar • poset • sıralama bağıntıları • sıralama bağıntısı • sıralı küme • ters bağıntı • yarı sıralama bağıntısı

Akademik Matematik

Bağıntılar

Related Posts:

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et

Yararlı Siteler

Son Yorumlar

Kategoriler

Akademik Matematik

Pages

Stay In Touch

More