Akademik Matematik

Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

 

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya diyelim, bu tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile diye adlandıralım, bu takdirde;

olur.

 

Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya diyelim

asal sayı olamaz, çünkü tanımladığımız bütün asal sayılardan büyüktür, o yüzden ve kendisi hariç bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. O halde ${{p}_{i}}|k$. Aynı zamanda asalı sayısının da bir böleni olduğundan elde edilir. Buradan elde edilir. Bu ise çelişkidir. Bir asal sayı ’i bölemez. Buna göre varsayımımız yanlıştır. Yani sonsuz tane asal sayı vardır.

 

Euler’in de bu konuda bir ispatı vardır. Hatta o daha genel bir hali ispatlamıştır. Asalsayıların 1 bölü hallerini (reciprocal) toplarsak, bu toplamın sonsuz olacağını ispat etmiş yani,

toplamının sonsuz olduğunu göstermiştir. Eğer asal sayılar sonlu sayıda olsaydı, sonlu tane sayının toplamı olarak bu toplam sonlu olacaktı, ama değil, bu yüzden asal sayılar sonsuz sayıdadır.