Lineer Kombinasyonlar

TANIM1:  X bir  K- vektör uzayı,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere,

 c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}

toplamına  x_{1},x_{2},\dots,x_{n} elemanlarının bir lineer kombinasyonu ya da sonlu lineer kombinasyonu denir.

TANIM2:  X bir  K- vektör uzayı,  \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun.  A'nın tüm sonlu lineer kombinasyonlarının kümesine  A ile üretilen uzay denir ve  \text{lin}A ile gösterilir. Buna göre,

 \displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, x_{k}\in{A}, 1\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\bigg\}}

olur.  A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\} sonlu bir küme olduğunda,

 \displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, 1\le{k}\le{n}\bigg\}}

olacağı açıktır. Ayrıca  \forall{a}\in{A}, a=1a olduğundan  A'nın her elemanı kendi sonlu lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. O halde  a\in{\text{lin}A}, yani,  A\subset{\text{lin}A}'dır.

ÖNERME1:  X bir  K- vektör uzayı,  \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun. Bu takdirde  \text{lin}A,  X'in bir alt uzayıdır.

İSPAT:

ÖRNEK1:  X=\mathbb{R}^{2},  A=\{(1,0),(0,1)\} olsun.  \text{lin}A'yı bulalım.  (x,y)\in{\mathbb{R}^{2}} olsun.  (x,y)=x(1,0)+y(0,1) olduğundan  (x,y)\in\text{lin}A. O halde  \text{lin}A=\mathbb{R}^{2}.

Benzer biçimde  X=\mathbb{R}^{n},  1\le{k}\le{n} için

 e_{k}=(0,0,\dots,0,\underbrace{1}_{k. \text{ terim}},0,\dots,0)\in{\mathbb{R}^{n}}

ve  A=\{e_{k}\text{ }|\text{ }1\le{k}\le{n}\} alınırsa  \forall{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in{\mathbb{R}^{n}} için

 x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=x_{1}(1,0,\dots,0)+x_{2}(0,1,0,\dots,0)+\dots+x_{n}(0,0,\dots,1)

 \displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}x_{k}e_{k}} olduğundan  \text{lin}A=\mathbb{R}^{n}'dir.

ÖRNEK2:  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\, |\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}\; \text{fonksiyondur}}\} seçelim. (Burada verilen  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} uzayı Vektör uzayları konumuzda ayrıntılı incelenmiştir.)  p_{n}(x)=x^{n}\; (n\in{\mathbb{N}}) olmak üzere

 A=\{p_{n}\, | \, n\in{\mathbb{N}}\}\subset{X} olsun.  A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n},\dots\} olduğu açıktır.

 \text{lin}A,  A kümesinin sonlu lineer kombinasyonlarından oluştuğundan

 \text{lin}A=\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\, |\, a_{k}\in{\mathbb{R}}, 0\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\}

olur. Yani  \text{lin}A tüm polinomların kümesidir.

ÖRNEK3:  X=\mathbb{R}^{4},  A=\{(3,0,2,4),(0,-1,-3,11),(0,1,-1,0)\} olsun. Buna göre  \text{lin}A'yı bulalım:

 a,b,c\in{\mathbb{R}} olsun.

 a(3,0,2,4)+b(0,-1,-3,11)+c(0,1,-1,0)=(3a,-b+c,2a-3b-c,4a+11b) olduğundan,

 \text{lin}A=\{(3a,-b+c,2a-3b-c,4a+11b)\, |\, a,b,c\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{4}} olur.

ÖRNEK4:  X=\mathbb{R}^{3},  A=\{(0,1,1),(1,-1,0),(0,0,0)\} olsun. Buna göre  \text{lin}A'yı bulalım:

 a,b,c\in{\mathbb{R}} olsun.

 a(0,1,1)+b(1,-1,0)+c(0,0,0)=(b,a-b,a) olduğundan,

 \text{lin}A=\{(b,a-b,a)\, |\, a,b,c\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}} olur.

Burada görüldüğü gibi  \theta=(0,0,0) elemanının  \text{lin}A'ya hiçbir katkısı yoktur. Yani,

 \text{lin}\{(0,1,1),(1,-1,0),(0,0,0)\}=\text{lin}\{(0,1,1),(1,-1,0)\}'dır. Bu durum sadece  \mathbb{R}^{3} uzayında değil tüm lineer uzaylarda geçerlidir.  X bir lineer uzay ve  \theta\in{A}\subset{X} ise  \text{lin}A=\text{lin}(A\setminus{\{\theta\}}) yazabilir. Yani,  \theta,  \text{lin}A hesaplamasına dahil edilmez. Burada belirtmek gerekir ki  \text{lin}\{\theta\}=\{\theta\}'dır.

TANIM3:  X bir  K- vektör uzayı,  A\subset{X} olsun.  A kümesini içeren tüm alt uzayların kesişimine  A uzayının gereni veya geren uzayı denir ve  \text{span}A ile gösterilir. Bu tanıma göre  M'ler alt uzay olmak üzere

 \displaystyle{\text{span}A=\bigcap_{M\supset{A}}M}

yazılabilir. Bu tanıma göre  \text{span}A alt uzayların kesişimidir. Vektör uzayları konusundaki Önerme5 ile altuzayların kesişimi alt uzay olduğundan  \text{span}A bir altuzaydır. Buna göre  \text{span}A,  A'yı içeren en dar alt uzaydır.

ÖRNEK5:  X bir  K- vektör uzayı  A=\emptyset olsun. Her  M\subset{X} altuzayı  A'yı içerir. Dolayısıyla  \{\theta\} altuzayı da  A'yı içerir. Bundan dolayı,

 \displaystyle{\text{span}\emptyset=\bigcap_{M\supset{A}}M\subset\{\theta\} \;(M \text{ altuzay})}

dır. Ayrıca  \text{span}\emptyset bir altuzay olduğundan  \theta\in{\text{span}\emptyset}, yani  \{\theta\}\subset{\text{span}\emptyset}'dir. Dolayısıyla  \text{span}\emptyset=\{\theta\}'dir.

ÖNERME2:  X bir  K- vektör uzayı,  \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun. Bu takdirde  \text{lin}A=\text{span}A'dır.

İSPAT

2 yorum

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir