TANIM1: K en az iki elemanlı bir küme, +:K\times{K}\rightarrow{K} ve \cdot:K\times{K}\rightarrow{K} iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa (K,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir:

F1) \forall{a,b,c}\in{K}, (a+b)+c=a+(b+c),

F2) \forall{a,b}\in{K}, a+b=b+a,

F3) \exists{0}\in{K}: \forall{a}\in{K}, a+0=a,

F4) \forall{a}\in{K}, \exists{b}\in{K}: a+b=0,

F5) \forall{a,b,c}\in{K}, (ab)c=a(bc),

F6) \forall{a,b}\in{K}, ab=ba,

F7) \forall{a,b,c}\in{K}, a(b+c)=ab+ac,

F8) \exists{1}\in{K}: \forall{a}\in{K}, 1a=a,

F9) \forall{a}\in{K\setminus{\{0\}}}, \exists{b}\in{K}: ab=1.

(Burada a\cdot{b} gösterimi yerine ab gösterimi kullanılmıştır)

ÖRNEK1: \mathbb{Q} Rasyonel sayılar kümesi, \mathbb{R} Reel sayılar kümesi ve \mathbb{C} Kompleks sayılar kümesi, bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre birer cisimdir.

ÖRNEK2: p, bir asal sayı, k\in{\mathbb{Z}}  olmak üzere  k+p\mathbb{Z}=\{k+px : x\in{\mathbb{Z}}\} ve \mathbb{Z}_{p}=\{k+p\mathbb{Z} : k\in{\mathbb{Z}}\} olsun. k,l\in{\mathbb{Z}} olmak üzere (k+p\mathbb{Z})+_{p}(l+p\mathbb{Z})=(k+l)+p\mathbb{Z} ve (k+p\mathbb{Z})\cdot_{p}(l+p\mathbb{Z})=kl+p\mathbb{Z} olarak tanımlarsak (\mathbb{Z},+_{p},\cdot_{p}) üçlüsü p elemanlı bir cisim olur.

ÖRNEK3: \mathbb{Z} tam sayılar kümesi F1,F2,…,F8 koşullarının hepsini sağlamasına rağmen F9 koşulunu sağlamadığından cisim değildir. 2\in\mathbb{Z}’dir, fakat 2k=1 koşulunu sağlayan bir k\in{\mathbb{Z}} bulunmadığından F9 koşulu sağlanmaz.

Cisimler konusunu detaylı olarak Cebir kategorisi açıldığında işleyeceğiz. Şimdi asıl konumuz olan Vektör uzayları konusuna giriş yapalım:

TANIM2: X bir küme ve K bir cisim olsun. +:X\times{X}\rightarrow{X} ve \cdot:K\times{X}\rightarrow{X} iki fonksiyon olmak üzere aşağıdaki koşullar sağlanırsa (X,K,+,\cdot) dörtlüsüne bir vektör uzayı ya da lineer uzay denir:

L1) \forall{x,y,z}\in{X}, (x+y)+z=x+(y+z),

L2) \forall{x,y}\in{X}, x+y=y+x,

L3) \exists{\theta}\in{X}: \forall{x}\in{X}, x+\theta=x,

L4) \forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{X}: x+y=\theta,

L5) \forall{a}\in{K}, \forall{x,y}\in{X}, a(x+y)=ax+ay,

L6) \forall{a,b}\in{K}, \forall{x}\in{X}, (a+b)x=ax+bx,

L7) \forall{a,b}\in{K}, \forall{x}\in{X}, a(bx)=(ab)x,

L8) \forall{x}\in{X}, 1x=x.

Bazen “(X,K,+,\cdot) bir vektör uzayıdır” ifadesi yerine “X, K-vektör uzayıdır” ifadesi kullanılır. X’in elemanlarına vektörler, K’nın elemanlarına sayılar (skaler) denir. K=\mathbb{R} ise X’e reel vektör uzayı, K=\mathbb{C} ise X’e kompleks vektör uzayı denir. L3 özelliğindeki \theta elemanına vektör uzayının sıfırı denir. Cismin sıfırı olan 0 ile karıştırmamak için \theta ile gösterilir.  \theta\in{X} olduğundan  bir vektör uzayı hiçbir zaman boş değildir. L4 özelliğindeki her bir x\in{X} vektörüne karşılık gelen ve x+y=\theta özelliğini sağlayan y\in{X} vektörüne, x vektörünün toplamaya göre tersi denir.

ÖRNEK4: \mathbb{R} bir \mathbb{R}-vektör uzayıdır. Genel olarak K bir cisim ise  kendi üzerinde bir vektör uzayıdır. Yani \mathbb{Q} bir \mathbb{Q}-vektör uzayı ve \mathbb{C} bir \mathbb{C}-vektör uzayıdır.

ÖRNEK5: n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere \mathbb{R}^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{1,n},\text{ }x_{i}\in{\mathbb{R}}\} olsun. (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})\in{\mathbb{R}^{n}} ve \lambda\in{\mathbb{R}} olmak üzere, toplama işlemi:

+:\mathbb{R}^{n}\times{\mathbb{R}^{n}}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}

(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots,x_{n}+y_{n}), skalerle çarpma işlemi:

\cdot:\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^{n}}\rightarrow{\mathbb{R}^{n}}

\lambda{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})}:=(\lambda{x_{1}},\lambda{x_{2}},\dots,\lambda{x_{n}}) olarak tanımlanırsa \mathbb{R}^{n} bir \mathbb{R}-vektör uzayı olur.

Genelde K bir cisim olduğunda K^{n}=\{(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{1,n}, \text{ }x_{i}\in{K}\} bir K-vektör uzayı olur. Buradaki toplama ve skalerle çarpma işlemleri \mathbb{R}^{n}’deki ile tamamen benzer biçimde tanımlanır. Buna göre \mathbb{Q}^{n} bir \mathbb{Q}-vektör uzayı ve \mathbb{C}^{n} bir \mathbb{C}-vektör uzayıdır.

ÖRNEK6: K ve L iki cisim, K\subset{L}, n\in{\mathbb{Z}^{+}} ise L^{n} bir K-vektör uzayıdır. Buna göre \mathbb{R}^{n}, \mathbb{Q} üzarinde ve \mathbb{C}^{n}, \mathbb{Q} ve \mathbb{R} üzerinde vektör uzaylarıdır.

ÖRNEK7: K ve L iki cisim ve K\subsetneqq{L} ise K, L üzerinde bir vektör uzayı değildir.

ÇÖZÜM: K’nın L üzerinde vektör uzayı olmadığını göstermek için ilk akla gelen 8 özellikten birinin sağlanmadığını göstermektir. Fakat bizim çözümümüz bu biçimde olmayacaktır. K’nın L üzerinde vektör uzayı olabilmesi için ilk önce skalerle çarpma fonskiyonun \cdot:L\times{K}\rightarrow{K} olması gerekir. Biz bunun sağlanmadığını göstereceğiz. K\subsetneqq{L} olduğundan \exists{\alpha}\in{L}: \alpha\notin{K}’dır. Ayrıca 1\in{K} olduğundan (\alpha,1)\in{L\times{K}}’dır. \cdot:L\times{K}\rightarrow{K} olduğundan \alpha.1\in{K} olması gerekir. Yani \alpha\in{K} olmalıdır. Fakat \alpha\notin{K} olduğundan \cdot:L\times{K}\rightarrow{K} değildir. Dolayısıyla K, L üzerinde bir vektör uzayı değildir.

Örnek7′ye göre \mathbb{Q}\subsetneqq{\mathbb{R}} olduğundan \mathbb{Q}, \mathbb{R} üzerinde ve \mathbb{R}\subsetneqq{\mathbb{C}} olduğundan \mathbb{R}, \mathbb{C} üzerinde vektör uzayı değildir.

ÖRNEK8: T bir küme ve K bir cisim olmak üzere,

X=\{f \text{ }\vert\text{ } f:T\rightarrow{K} \text{ fonksiyon}\}

olarak tanımlansın. f,g\in{X} için toplama işlemi:

\forall{t}\in{T}, (f+g)(t):=f(t)+g(t),

\lambda\in{K} ve f\in{X} için skalerle çarpma işlemi:

\forall{t}\in{T}, (\lambda{f})(t):=\lambda{f(t)} olarak tanımlanırsa X bir K-vektör uzayı olur. Bu uzay X=K^{T} ile gösterilir.

Bu örnekte K=\mathbb{R} ve T=\{1,2,\dots,n\} olarak alınırsa X=\mathbb{R}^{n} elde edilir. Ayrıca T=\mathbb{N} ve K=\mathbb{R} alınırsa X=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}, yani bütün reel terimli diziler elde edilir. Bu vektör uzayı S ile gösterilirse S=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\} olur. Bu inşa kompleks terimli diziler için de yapılabilir. K=\mathbb{C} olarak alınırsa S=\mathbb{C}^{\mathbb{N}}=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\} olur.

ÖRNEK9: K bir cisim ve K[x], katsayıları K’dan olan polinomların kümesi yani;

K[x]=\{f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\text{ }\vert\text{ }\forall{i}=\overline{0,n}, a_{i}\in{K}\} olsun.

\lambda\in{K}, f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\in{K[x]} ve

g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots+b_{1}x+b_{0}\in{K[x]} olsun.

Toplama işlemi, s=max\{n,m\}, i>n\Rightarrow{a_{i}=0} ve i>m\Rightarrow{b_{i}=0} olmak üzere,

(f+g)(x)=(a_{s}+b_{s})x^{s}+(a_{s-1}+b_{s-1})x^{s-1}+\dots+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0}),

Skalerle çarpma işlemi, (\lambda{f})(x)=\lambda{a_{n}}x^{n}+\lambda{a_{n-1}}x^{n-1}+\dots+\lambda{a_{1}}x+\lambda{a_{0}} olarak

tanımlanırsa K[x] bir K-vektör uzayı olur.

TANIM3: K bir cisim, X bir K-vektör uzayı ve x,y\in{X} olsun. Bu durumda

x-y=x+(-y)

olarak tanımlanır.

ÖNERME1: K bir cisim, X bir K-vektör uzayı olsun. Bu takdirde;

a) \theta\in{X} tektir,

b) \forall{x}\in{X} için x’in toplamaya göre tersi tektir. (x+y=\theta özelliğini sağlayan bu tek eleman y=-x olarak gösterilir),

c) \forall{x}\in{X}, 0x=\theta,

d) \forall{\lambda}\in{K}, \lambda\theta=\theta,

e) \forall{x}\in{X}, (-1)x=-x,

f) \lambda{x}=\theta\Leftrightarrow{\lambda=0\lor{x=\theta}}.

İSPAT:

TANIM4: X bir K-vektör uzayı, \emptyset\ne{M}\subset{X} olsun.

(i) \forall{x,y}\in{M}, x+y\in{M},

(ii) \forall{\lambda}\in{K}, ve \forall{x}\in{M}, \lambda{x}\in{M}

koşulları sağlanıyorsa M’ye X’in bir “alt uzayı” ya da “alt vektör uzayı” denir. Bu durumda toplama foksiyonu X\times{X}’den M\times{M}’e ve skalerle çarpma fonksiyonu K\times{X}’den K\times{M}’e kısıtlanırsa (M,K,+,\cdot) kendi başına bir vektör uzayı olur.

ÖNERME2: X bir K-vektör uzayı, M\subset{X} alt uzay ise \theta\in{M}’dir.

İSPAT:

Önerme2 ile Tanım4 şu biçimde de ifade edilebilir:

TANIM4‘: X bir K-vektör uzayı, M\subset{X} olsun.

(i) \theta\in{M}

(ii) \forall{x,y}\in{M}, x+y\in{M},

(iii) \forall{\lambda}\in{K}, ve \forall{x}\in{M}, \lambda{x}\in{M}

koşulları sağlanıyorsa M’ye X’in bir “alt uzayı” ya da “alt vektör uzayı” denir. Tanım4′ ile hemen şu sonuca varılır: \theta\notin{M} ise M bir alt uzay değildir.

ÖNERME3: X bir K-vektör uzayı, \emptyset\ne{M}\subset{X} olsun. Bu takdirde:

M bir alt uzaydır \iff \forall{a,b}\in{K}, \text{ }\forall{x,y}\in{M}, \text{ }ax+by\in{M}.

İSPAT:

ÖNERME4: X bir K-vektör uzayı, M,N\subset{X} alt uzaylar olsun. Bu takdirde, M\cup{N}’nin alt uzay olması için gerek ve yeter koşul M\subset{N} veya N\subset{M} olmasıdır.

İSPAT:

ÖNERME5: X bir K-vektör uzayı, I bir indis kümesi \forall{i}\in{I}, M_{i}, X’in bir alt uzayı olsun. Bu takdirde,

\displaystyle{\bigcap_{i\in{I}}M_{i}}

de X’in bir alt uzayıdır. Yani alt uzayların keyfi sayıdaki kesişimi de bir alt uzaydır.

İSPAT:

ÖRNEK10: X bir K-vektör uzayı olsun. Bu takdirde M_{0}=\{\theta\}\subset{X} ve M_{1}=X\subset{X} birer alt uzaydır.

TANIM5: M_{0} ve M_{1}’e X’in trivial alt uzayları denir. X’in trivial’den farklı alt uzaylarına “özalt uzay” denir. Başka bir deyişle \{\theta\}\subsetneqq{M}\subsetneqq{X} özelliğini sağlayan bir alt uzaya özalt uzay denir.

ÖRNEK11: X=\mathbb{R}^{2}, c_{1},c_{2}\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde,

M=M_{c_{1},c_{2}}=\{(x_{1},x_{2})\in{\mathbb{R}^{2}}\text{ }|\text{ }c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=0\}

\mathbb{R}^{2}’nin bir alt uzayıdır. c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0 ise M_{c_{1},c_{2}} özalt uzaydır.

ÇÖZÜM: a,b\in{\mathbb{R}}, x=(x_1,x_2), y=(y_{1},y_{2})\in{M} olsun. O halde c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}=0 ve c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=0’dır.

ax+by=a(x_{1},x_{2})+b(y_{1},y_{2})=(ax_{1}+by_{1},ax_{2}+by_{2})’dir.

c_{1}(ax_{1}+by_{1})+c_{2}(ax_{2}+by_{2})=a(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2})+b(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})=a0+b0=0

olduğundan ax+by\in{M}’dir. Ayrıca c_{1}0+c_{2}0=0 olduğundan (0,0)\in{M}’dir. Dolayısıyla M bir alt uzaydır.

Şimdi c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0 olduğunda M_{c_{1},c_{2}}’nin bir özalt uzay olduğunu gösterelim.

c_{1}^{2}+c_{2}^{2}>0 ise c_{1}\ne{0}\lor{c_{2}\ne{0}}’dır. Varsayalım ki c_{1}\ne{0}’dır. c_{1}(-c_{2})+c_{2}c_{1}=0 olduğundan (-c_{2},c_{1})\in{M}. (-c_{2},c_{1})\ne{(0,0)} olduğundan \{(0,0)\}\subsetneqq{M}’dir.

(1-c_{2},c_{1})\in{\mathbb{R}^{2}}’dir. (1-c_{2})c_{1}+c_{1}c_{2}=c_{1}\ne{0} olduğundan (1-c_{2},c_{1})\notin{M}’dir. Sonuç olarak \{(0,0)\}\subsetneqq{M}\subsetneqq{\mathbb{R}^{2}}’dir. c_{2}\ne{0} olduğunda \{(0,0)\}\subsetneqq{M}\subsetneqq{\mathbb{R}^{2}} olduğu benzer biçimde gösterilebilir.

ÖRNEK12: X=\mathbb{R}^{2}, M=\{(x,x^{2})\in{\mathbb{R}^{2}}\text{ }|\text{ }x\in{\mathbb{R}}\} olsun. 0^{2}=0 olduğundan (0,0)\in{M}’dir. O halde M bir alt uzay olabilir. 1^{2}=1 olduğundan (1,1)\in{M}. M bir alt uzay olsaydı 2\in{\mathbb{R}} olduğundan 2(1,1)=(2,2)\in{M} olması gerekirdi. Fakat 2^{2}=4\ne{2} olduğundan M bir alt uzay değildir.

ÖRNEK13: X=\mathbb{R}^{3},

M_{1}=\{(s-t,s+5t,2t-s) | s,t\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}},

M_{2}=\{(s-t,s+5t,2t-1) | s,t\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}} olsun.

M_{1} ve M_{2}’nin alt uzay olup olmadığını araştıralım:

Önce M_{1}’i inceleyelim: s=t=0 için (0-0,0+5.0,2.0-0)=(0,0,0)\in{M_{1}}’dir.

a,b\in{\mathbb{R}} ve \big{(}s-t,s+5t,2t-s\big{)}, \big{(}s'-t',s'+5t',2t'-s'\big{)}\in{M_{1}} olsun.

a\big{(}s-t,s+5t,2t-s\big{)}+b\big{(}s'-t',s'+5t',2t'-s'\big{)}

=\Big{(}as+bs'-(at+at'),as+bs'+5(at+at'),2(at+at')-(as+bs')\Big{)}\in{M_{1}}.

O halde M_{1}\subset{\mathbb{R}^{3}} bir alt uzaydır.

Şimdi M_{2}’yi inceleyelim: (0,0,0)\in{M_{2}} olması için (s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0) olacak biçimde s,t\in{\mathbb{R}} var olmalıdır.

(s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0)\Rightarrow{s-t=0\land{s+5t=0}\land{2t-1=0}}.

2t-1=0 olduğundan t=\displaystyle{\frac{1}{2}}’dir. s-t=0 olduğundan s=\displaystyle{\frac{1}{2}}’dir. Fakat s+5t=\displaystyle{\frac{1}{2}+5\frac{1}{2}=3\ne{0}}. Dolayısıyla (s-t,s+5t,2t-1)=(0,0,0) olacak biçimde s,t\in{\mathbb{R}} yoktur. O halde (0,0,0)\notin{M_{2}}. Bu yüzden M_{2} alt uzay değildir.

ÖRNEK14 (DİZİ UZAYLARI): Örnek8′da S=\{(x_{n})\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\} bütün reel dizilerin uzayını incelemiştik. Şimdi bu uzayın bazı önemli alt uzaylarına göz atalım:

\displaystyle{l_{\infty}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|<+\infty}\}}

uzayı, Reel terimli ve sınırlı dizilerin uzayıdır. Bu uzay S’in bir özalt uzayıdır. Çünkü \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1 seçilirse (x_{n})\in{l_{\infty}} olur ve l_{\infty}\ne{\{0\}} elde edilir. Öte yandan \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=n seçilirse (x_{n})\notin{l_{\infty}} ve (x_{n})\in{S} olduğundan

\{0\}\subsetneqq{l_{\infty}}\subsetneqq{S}

elde edilir. (Burada \{0\} ile tüm terimleri sıfır olan (x_{n})=(0,0,\dots,0,\dots) dizisini içeren tek elemanlı trivial alt uzay gösterilmektedir)

\displaystyle{C=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{(x_{n})}} yakınsak\}

uzayı, Reel terimli ve yakınsak dizilerin uzayıdır. Yakınsak her dizi sınırlı olduğundan bu uzay l_{\infty}’un bir özalt uzayıdır. Ayrıca \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1 seçilirse

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=1}

olduğundan (x_{n})\in{C} olur ve C\ne{\{0\}} elde edilir. Öte yandan \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=(-1)^{n} seçilirse (x_{n})\notin{C} ve (x_{n})\in{l_{\infty}} olduğundan

\{0\}\subsetneqq{C}\subsetneqq{l_{\infty}}

elde edilir.

\displaystyle{C_{0}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}\}}

C_{0}\subset{C} olduğundan C_{0} uzayı C’nin bir alt uzayıdır. \displaystyle{\forall{n\in{\mathbb{N}}}, x_{n}=\frac{1}{n}} seçilirse

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0}

olduğundan x_{n}\in{C_{0}} olur. O halde C_{0}\ne{\{0\}}’dır. Öte yandan \forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}=1 seçilirse

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=1}

olduğundan (x_{n})\notin{C_{0}} olur. (x_{n})\in{C} olduğundan \{0\}\subsetneqq{C_{0}}\subsetneqq{C} sağlanır.

1\le{p}<+\infty olmak üzere

\displaystyle{l_{p}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{R}}\land{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\}}

uzayını göz önüne alalım. (x_{n})\in{l_{p}} olsun.

\displaystyle{(x_{n})\in{l_{p}}\Rightarrow{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}=0}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert=0}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}}

\Rightarrow{(x_{n})\in{C_{0}}}. O halde \forall{p}\in{[1,+\infty)}, l_{p}\subset{C_{0}}. Şimdi l_{p}’lerin C_{0}’ın öz alt uzayları olduğunu gösterelim:

\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{2^{n/p}}} olsun. \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{2^{n/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1<+\infty} ise (x_{n})\in{l_{p}}.

Dolayısıyla \forall{p}\in{[1,+\infty)}, l_{p}\ne{\{0\}}

\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{1/p}}} olsun. \displaystyle{\lim_{n\rightarrow{\infty}}\frac{1}{n^{1/p}}=0} ise (x_{n})\in{C_{0}}.

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty} olduğundan (x_{n})\notin{l_{p}}. Yani \{0\}\subsetneqq{l_{p}}\subsetneqq{C_{0}}.

Şimdi l_{p} uzaylarının kendi aralarındaki içerme ilişkisini inceleyelim:

1\le{p}<q<+\infty olsun.

\displaystyle{(x_{n})\in{l_{p}}\Rightarrow{(x_{n})\in{C_{0}}}\Rightarrow{\lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=0}}

\Rightarrow{\forall{\varepsilon}>0, \exists{n_{\varepsilon}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{\varepsilon}, |x_{n}|<\varepsilon}

\varepsilon=1 seçersek,

\exists{n_{1}}\in{\mathbb{N}}: \forall{n}>n_{1}, |x_{n}|<1

\Rightarrow{p<q} olduğundan \forall{n}>n_{1},|x_{n}|^{q}<|x_{n}|^{p}

\Rightarrow{(x_{n})\in{l_{p}}} olduğundan

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}=\sum_{n=1}^{n_{1}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}+\sum_{n=n_{1}+1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}<\sum_{n=1}^{n_{1}}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{q}+\sum_{n=n_{1}+1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}

O halde p<q\Rightarrow{l_{p}\subset{l_{q}}} doğrudur. Şimdi kesin içermenin sağlandığını gösterelim:

Yine p<q olsun. O halde \displaystyle{\frac{q}{p}>1}’dir. \displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{1/p}}} olsun.

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty} olduğundan (x_{n})\notin{l_{p}}.

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\Big{|}\frac{1}{n^{1/p}}\Big{|}^{q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{q/p}}<+\infty} olduğundan (x_{n})\in{l_{q}}.

O halde p<q\Rightarrow{l_{p}\subsetneqq{l_{q}}} doğrudur.

Son olarak \Phi=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0\}

uzayını inceleyelim:

x_{n}=\bigg\{ 1,\text{ }n=1\\0,\text{ }n>1

olarak tanımlarsak \forall{n}>1, x_{n}=0 olduğundan (x_{n})\in{\Phi}’dir. O halde \{0\}\subsetneqq{\Phi}.

(x_{n})\in{\Phi} ve 1\le{p}<\infty olsun. \exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0

\displaystyle{\Rightarrow{\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}}=\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}+\sum_{n=N+1}^{\infty}|x_{n}|^{p}=\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}+\sum_{n=N+1}^{\infty}0=\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{p}<+\infty}

olduğundan (x_{n})\in{l_{p}}. O halde \Phi uzayı l_{p}’nin bir alt uzayıdır. Şimdi kesin içermenin olduğunu gösterelim:

\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{n^{2}}} olsun. \displaystyle{\forall{n}\in{\mathbb{N}}, \frac{1}{n^{2}}\ne{0}} olduğundan (x_{n})\notin{\Phi}.

Fakat

\displaystyle{\forall{p}\in[1,+\infty), \sum_{n=1}^{\infty}|x_{n}|^{p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2p}}<+\infty}

olduğundan (x_{n})\in{l_{p}}’dir. Yani \{0\}\subsetneqq{\Phi}\subsetneqq{l_{p}}.

O halde ele aldığımız bütün dizi uzayları için aşağıdaki içerme doğrudur:

\Phi\subsetneqq{l_{p}}\subsetneqq{C_{0}}\subsetneqq{C}\subsetneqq{l_{\infty}}\subsetneqq{S}

Örnek14′te verilen bütün dizi uzayları reel terimli diziler için verilmiştir. Buradaki bütün örnekler kompleks terimli diziler için de verilebilir. Buna göre S=\mathbb{C}^{\mathbb{N}} bütün kompleks terimli dizilerin uzayı olur. Bu uzayın alt uzayları da

\displaystyle{l_{\infty}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\sup_{n\in{\mathbb{N}}}|x_{n}|<+\infty}\}}

\displaystyle{C=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{(x_{n})}} yakınsak\}

\displaystyle{C_{0}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0}\}}

\displaystyle{l_{p}=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\forall{n}\in{\mathbb{N}}, x_{n}\in{\mathbb{C}}\land{\sum_{n=1}^{\infty}\arrowvert{x_{n}}\arrowvert^{p}<+\infty}\}}

\Phi=\{(x_{n})\in{S}\text{ }|\text{ }\exists{N}\in{\mathbb{N}} : \forall{n}>N, x_{n}=0\}

olarak verilebilir.