TANIM1: X bir K- vektör uzayı, x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} ve c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere,

c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}

toplamına x_{1},x_{2},\dots,x_{n} elemanlarının bir lineer kombinasyonu ya da sonlu lineer kombinasyonu denir.

TANIM2: X bir K- vektör uzayı, \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun. A’nın tüm sonlu lineer kombinasyonlarının kümesine A ile üretilen uzay denir ve \text{lin}A ile gösterilir. Buna göre,

\displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, x_{k}\in{A}, 1\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\bigg\}}

olur. A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\} sonlu bir küme olduğunda,

\displaystyle{\text{lin}A=\bigg\{\sum_{k=1}^{n}c_{k}x_{k}\text{ }|\text{ }c_{k}\in{K}, 1\le{k}\le{n}\bigg\}}

olacağı açıktır. Ayrıca \forall{a}\in{A}, a=1a olduğundan A’nın her elemanı kendi sonlu lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. O halde a\in{\text{lin}A}, yani, A\subset{\text{lin}A}’dır.

ÖNERME1: X bir K- vektör uzayı, \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun. Bu takdirde \text{lin}A, X’in bir alt uzayıdır.

İSPAT:

ÖRNEK1: X=\mathbb{R}^{2}, A=\{(1,0),(0,1)\} olsun. \text{lin}A’yı bulalım. (x,y)\in{\mathbb{R}^{2}} olsun. (x,y)=x(1,0)+y(0,1) olduğundan (x,y)\in\text{lin}A. O halde \text{lin}A=\mathbb{R}^{2}.

Benzer biçimde X=\mathbb{R}^{n}, 1\le{k}\le{n} için

e_{k}=(0,0,\dots,0,\underbrace{1}_{k. \text{terim}},0,\dots,0)\in{\mathbb{R}^{n}}

ve A=\{e_{k}\text{ }|\text{ }1\le{k}\le{n}\} alınırsa \forall{x}=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\in{\mathbb{R}^{n}} için

x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=x_{1}(1,0,\dots,0)+x_{2}(0,1,0,\dots,0)+\dots+x_{n}(0,0,\dots,1)

\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}x_{k}e_{k}} olduğundan \text{lin}A=\mathbb{R}^{n}’dir.

ÖRNEK2: X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\, |\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}\; \text{fonksiyondur}}\} seçelim. (Burada verilen X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} uzayı Vektör uzayları konumuzda ayrıntılı incelenmiştir.) p_{n}(x)=x^{n}\; (n\in{\mathbb{N}}) olmak üzere

A=\{p_{n}\, | \, n\in{\mathbb{N}}\}\subset{X} olsun. A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n},\dots\} olduğu açıktır.

\text{lin}A, A kümesinin sonlu lineer kombinasyonlarından oluştuğundan

\text{lin}A=\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\, |\, a_{k}\in{\mathbb{R}}, 0\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\}

olur. Yani \text{lin}A tüm polinomların kümesidir.

ÖRNEK3: X=\mathbb{R}^{4}, A=\{(3,0,2,4),(0,-1,-3,11),(0,1,-1,0)\} olsun. Buna göre \text{lin}A’yı bulalım:

a,b,c\in{\mathbb{R}} olsun.

a(3,0,2,4)+b(0,-1,-3,11)+c(0,1,-1,0)=(3a,-b+c,2a-3b-c,4a+11b) olduğundan,

\text{lin}A=\{(3a,-b+c,2a-3b-c,4a+11b)\, |\, a,b,c\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{4}} olur.

ÖRNEK4: X=\mathbb{R}^{3}, A=\{(0,1,1),(1,-1,0),(0,0,0)\} olsun. Buna göre \text{lin}A’yı bulalım:

a,b,c\in{\mathbb{R}} olsun.

a(0,1,1)+b(1,-1,0)+c(0,0,0)=(b,a-b,a) olduğundan,

\text{lin}A=\{(b,a-b,a)\, |\, a,b,c\in{\mathbb{R}}\}\subset{\mathbb{R}^{3}} olur.

Burada görüldüğü gibi \theta=(0,0,0) elemanının \text{lin}A’ya hiçbir katkısı yoktur. Yani,

\text{lin}\{(0,1,1),(1,-1,0),(0,0,0)\}=\text{lin}\{(0,1,1),(1,-1,0)\}’dır. Bu durum sadece \mathbb{R}^{3} uzayında değil tüm lineer uzaylarda geçerlidir. X bir lineer uzay ve \theta\in{A}\subset{X} ise \text{lin}A=\text{lin}(A\setminus{\{\theta\}}) yazabilir. Yani, \theta, \text{lin}A hesaplamasına dahil edilmez. Burada belirtmek gerekir ki \text{lin}\{\theta\}=\{\theta\}’dır.

TANIM3: X bir K- vektör uzayı, A\subset{X} olsun. A kümesini içeren tüm alt uzayların kesişimine A uzayının gereni veya geren uzayı denir ve \text{span}A ile gösterilir. Bu tanıma göre M’ler alt uzay olmak üzere

\displaystyle{\text{span}A=\bigcap_{M\supset{A}}M}

yazılabilir. Bu tanıma göre \text{span}A alt uzayların kesişimidir. Vektör uzayları konusundaki Önerme5 ile altuzayların kesişimi alt uzay olduğundan \text{span}A bir altuzaydır. Buna göre \text{span}A, A’yı içeren en dar alt uzaydır.

ÖRNEK5: X bir K- vektör uzayı A=\emptyset olsun. Her M\subset{X} altuzayı A’yı içerir. Dolayısıyla \{\theta\} altuzayı da A’yı içerir. Bundan dolayı,

\displaystyle{\text{span}\emptyset=\bigcap_{M\supset{A}}M\subset\{\theta\} \;(M \text{altuzay})}

dır. Ayrıca \text{span}\emptyset bir altuzay olduğundan \theta\in{\text{span}\emptyset}, yani \{\theta\}\subset{\text{span}\emptyset}’dir. Dolayısıyla \text{span}\emptyset=\{\theta\}’dir.

ÖNERME2: X bir K- vektör uzayı, \emptyset\ne{A}\subset{X} olsun. Bu takdirde \text{lin}A=\text{span}A’dır.

İSPAT:

X=\mathbb{R}^{2}