Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı ve  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} olsun. Bu durumda  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi yalnızca  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda sağlanıyorsa,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda zaten  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi sağlanıyor. O halde  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminin  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımsız ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n} toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Eğer,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımlıdır

 \iff  \exists{c_{1},c_{2},\dots,c_{n}}\in{K}, \exists{i}=\overline{1,n}: c_{i}\ne{0} \; \text{ve} \; c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta

Yani,  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminde en az bir  c_{i} sıfırdan farklı olabiliyorsa  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımlıdır.

Basitten karmaşığa doğru örnekler verelim:

ÖRNEK1:  X=\mathbb{R}^{2}, A=\{(1,0),(0,1)\} olsun.

 c_{1}(1,0)+c_{2}(0,1)=(0,0)\Rightarrow{(c_{1},c_{2})=(0,0)}\Rightarrow{c_{1}=0\land{c_{2}=0}} olduğundan  (1,0) ve  (0,1) elemanları lineer bağımsızdır.

ÖRNEK2: Örnek1'i genelleştirelim.  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  X=\mathbb{R}^{n},  A=\{(1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1)\} olsun.

 c_{1}(1,0,\dots,0)+c_{2}(0,1,0,\dots,0)+\cdots+c_{n}(0,\dots,0,1)=(0,0,\dots,0)

 \Rightarrow{(c_{1},c_{2},\dots,c_{n})=(0,0,\dots,0)}\Rightarrow{c_{1}=0, c_{2}=0,\dots,c_{n}=0}

olduğundan  A kümesi lineer bağımsızdır.

ÖRNEK3:  X=\mathbb{R}^{2}, A=\{(1,2),(-5,3)\} olsun.

 c_{1},c_{2} yerine basitlik için  a,b kullanalım:

 a(1,2)+b(-5,3)=(0,0)\Rightarrow{(a-5b,2a+3b)=(0,0)}\Rightarrow{a-5b=0\land{2a+3b=0}}.

 \left\{ \begin{array}{l} 2a+3b=0\\{\;\:}a-5b=0 \end{array} \right.

biçiminde, iki bilinmeyenli bir denklemi çözmemiz gerekir. Şimdi bu denklemi çözelim:

 {\quad\,\,}2a+3b=0\\{-2/a-5b=0\setminus{-2}}  {\quad}\Rightarrow{\quad}  {\quad\;\:}2a+3b=0\\-2a+10b=0  {\quad}

Şimdi bu denklemleri taraf tarafa toplayalım:

 {\quad\;\:}2a+3b=0\\-2a+10b=0\\{\stackrel{+\qquad\qquad\qquad}{\overline{\qquad\quad\;13b=0}}}

O halde  b=0'dır. Buradan da  a-5b=0 denkleminde  b=0 yerine yazılırsa  a=0 bulunur. Dolayısıyla  (1,2) ve  (-5,3) vektörleri lineer bağımsızdır.

ÖRNEK4:  X=\mathbb{R}^{3}, A=\{(-1,2,6),(2,-4,3),(0,0,15)\} olsun.  a=2, b=1, c=-1 seçersek,  a,b,c\ne{0} olduğu halde

 a.(-1,2,6)+b.(2,-4,3)+c(0,0,15)=2.(-1,2,6)+1.(2,-4,3)+(-1).(0,0,15)

 =(0,0,0)

dır. O halde  (-1,2,6),(2,-4,3),(0,0,15) vektörleri lineer bağımlıdır.

ÖRNEK5:  X=\mathbb{R}^{4}, A=\{(8,-2,1,1),(-7,0,0,-5),(0,0,0,0)\} olsun.

 a=0, b=0, c=1 seçersek,  c\ne{0} olduğu halde

 a.(8,-2,1,1)+b(-7,0,0,-5)+c.(0,0,0,0)

 =0.(8,-2,1,1)+0.(-7,0,0,-5)+1.(0,0,0,0)=(0,0,0,0)

olur. O halde  (8,-2,1,1),(-7,0,0,-5),(0,0,0,0) vektörleri lineer bağımlıdır.

 c sayısını  1 seçtiğimiz gibi, sıfırdan farklı herhangi bir sayı da seçebilirdik. Fakat bunun bir önemi yoktur. Çünkü lineer bağımlılığın tanımına göre sıfırdan farklı en az bir katsayı bulmak yeterlidir. Burada basitlik için  1 seçtik.

Sıfır, yani  \theta=(0,0,0,0) elemanı,  A kümesine dahil olduğu için  A kümesi lineer bağımlı oldu. Bu, sadece  X=\mathbb{R}^{4} uzayı için böyle değildir. Genelde de doğrudur.  X herhangi bir  K-vektör uzayı olsun.  A kümesini  \theta'yı içeren herhangi bir sonlu küme seçelim. O halde  A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n},\theta\} biçimindedir.

 c_{1}=0,c_{2}=0,\dots,c_{n}=0,c_{n+1}=1 seçilirse

 c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}+c_{n+1}\theta=0.x_{1}+0.x_{2}+\cdots+0.x_{n}+1.\theta=\theta

olduğundan  A kümesi lineer bağımlı olur.

ÖRNEK6:  X\ne{\{\theta\}} bir  K-vektör uzayı  \theta\ne{x}\in{X} olsun. Bu takdirde  x\ne{\theta} olduğundan,

 cx=\theta\Rightarrow{c=0}

olur. O halde  A=\{x\} lineer bağımsızdır.

ÖRNEK7:  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\,|\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \; \text{fonksiyondur}\}, A=\{e^{x},e^{-x}\} olsun.

 ae^{x}+be^{-x}=0 diyelim. (Çalıştığımız uzay fonksiyonların uzayı olduğundan eşitliğin sağ tarafındaki  0,  f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=0 fonksiyonunu göstermektedir. Ayrıca yazılan eşitlik fonksiyonların eşitliğidir. Yani,  \forall{x}\in{\mathbb{R}}, ae^{x}+be^{-x}=0'dır.)

 e^{x} ve  e^{-x} fonksiyonlarının lineer bağımsız olduğunu göstermek için  a=b=0 olduğunu göstermeliyiz:

 x=0 için

 ae^{0}+be^{-0}=0\Rightarrow{a+b=0},

 x=\ln2 için

 \displaystyle{ae^{\ln2}+be^{-\ln2}=0\Rightarrow{2a+\frac{b}{2}=0}}

elde edilir. Birinci eşitlikteki  a=-b ikinci eşitlikte yerine yazılırsa,

 \displaystyle{2a-\frac{a}{2}=0\Rightarrow{\frac{3a}{2}=0}\Rightarrow{a=0}} ve  b=-a=-0=0 elde edilir. O halde  e^{x} ve  e^{-x} fonksiyonları lineer bağımsızdır.

ÖRNEK8:  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\,|\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \; \text{fonksiyondur}\}, A=\{\cos{x},\sin{x}\} olsun.

 a\cos{x}+b\sin{x}=0 diyelim.

 x=0 için  a\cos{0}+b\sin{0}=0\Rightarrow{a.1+b.0=0}\Rightarrow{a=0}

 \displaystyle{x=\frac{\pi}{2}} için  \displaystyle{a\cos{\frac{\pi}{2}}+b\sin{\frac{\pi}{2}}=0\Rightarrow{a.0+b.1=0}\Rightarrow{b=0}}.

O halde  \cos{x} \;\text{ve}\: \sin{x} fonksiyonları lineer bağımsızdır.

ÖRNEK9:  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\,|\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \; \text{fonksiyondur}\}, A=\{\cos^{2}{x},\sin^{2}{x},1\} olsun.

(Burada  1 ile  f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}, \forall{x}\in{\mathbb{R}}, f(x)=1 fonksiyonu gösterilmektedir.)

 a=1, b=1, c=-1 seçilirse  a,b,c\ne{0} olduğu halde

 a.\cos^{2}{x}+b.\sin^{2}{x}+c.1=1.\cos^{2}{x}+1.\sin^{2}{x}+(-1).1=\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}-1=0

olduğundan  \cos^{2}{x},\sin^{2}{x},1 fonksiyonları lineer bağımlıdır.

ÖNERME1:  X bir  K-vektör uzayı ve  A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}\subset{X} olsun. Bu takdirde  A'nın lineer bağımlı olması için gerek ve yeter koşul, bir elemanın diğerlerinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılmasıdır. Daha açık bir ifadeyle,

 A lineer bağımlıdır  \iff  \exists{k}=\overline{1,n}: x_{k}=c_{1}x_{1}+\cdots+c_{k-1}x_{k-1}+c_{k+1}x_{k+1}+\cdots+c_{n}x_{n}

İSPAT:

ÖRNEK10:  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\,|\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \; \text{fonksiyondur}\}, A=\{e^{x},e^{-x},\cosh{x}\} olsun.

 \displaystyle{\cosh{x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}} olduğundan  \cosh{x} fonksiyonu,  e^{x} ve  e^{-x} fonksiyonlarının lineer kombinasyonu olarak yazılabilir. O halde Önerme1'e göre  A lineer bağımlıdır.

ÖNERME2:  X bir  K-vektör uzayı ve  A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}\subset{X} lineer bağımsız olsun. Bu takdirde  \text{span}A'nın her bir  x elemanı,  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere tek bir

 x=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}

gösterimine sahiptir.

İSPAT:

ÖNERME3:  X bir  K-vektör uzayı ve  A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}\subset{X} lineer bağımlı olsun. Bu takdirde  A'ya sonlu eleman eklenmesiyle oluşturulan yeni küme de lineer bağımlıdır.

İSPAT:

SONUÇ1:  X bir  K-vektör uzayı ve  A=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}\subset{X} lineer bağımsız olsun. Bu takdirde  A'nın her alt kümesi de lineer bağımsızdır.

 A'nın bir  C alt kümesi lineer bağımlı olsaydı  A'nın diğer elemalarını  C'ye eklediğimizde Önerme3'e göre  A da lineer bağımlı olurdu. Dolayısıyla lineer bağımsız bir kümenin her alt kümesi lineer bağımsızdır.

Şimdiye kadar hep sonlu kümelerin lineer bağımsızlığından ve lineer bağımlılığından bahsettik. Şimdi de sonsuz kümelerin lineer bağımsızlığından ve lineer bağımlılığından bahsedelim:

TANIM3:  X bir  K-vektör uzayı ve  A\subset{X} sonsuz bir küme olsun. Eğer  A'nın her sonlu alt kümesi lineer bağımsızsa  A'ya lineer bağımsızdır denir. Aksi taktirde lineer bağımlıdır denir. Yani  A'nın lineer bağımlı en az bir sonlu alt kümesi varsa  A'ya lineer bağımlıdır denir.

ÖRNEK11:  X=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\,|\, f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \; \text{fonksiyondur}\}, A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n}\} olsun.

 A'nın lineer bağımsız olduğunu gösterelim:

 c_{0}1+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots+c_{n}x^{n}=0  {\qquad} (*) diyelim. İki taraftan türev alalım.

 c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots+nc_{n}x^{n-1}=0. Bir daha türev alalım.

 2c_{2}+3.2c_{3}x+\cdots+n(n-1)c_{n}x^{n-2}=0. Bu şekilde  n. türeve kadar devam edersek

 n!c_{n}=0 elde ederiz. Buradan da  c_{n}=0 bulunur. Bulduğumuz bu  c_{n}=0 sonucunu (*) denkleminde yerine yazarsak

 c_{0}1+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}=0 (**) elde ederiz. (*) denklemine uyguladığımız türev işleminin aynısını (**) denklemine  n-1 defa uygularsak  (n-1)!c_{n-1}=0, yani  c_{n-1}=0 elde ederiz. Sonra bu sonucu da (**) denkleminde yerine yazar ve bu süreci böyle devam ettirirsek  c_{n-2}=c_{n-3}=\cdots=c_{1}=c_{0}=0 elde ederiz. O halde  A kümesi lineer bağımsızdır.

SONUÇ2:  A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n}\} kümesinin lineer bağımsız olduğunu elde ettik. Sonuç1'e göre  A'nın her alt kümesi de lineer bağımsızdır. Yani  0\le{n_{1}}\le{n_{2}}\le\dots\le{n_{k}}\le{n} olmak üzere  B=\{x^{n_{1}},x^{n_{2}},\dots,x^{n_{k}}\}\subset{A} da lineer bağımsızdır. Örneğin  B=\{x^{3},x^{22},x^{43},x^{567}\} kümesi lineer bağımsızdır.

SONUÇ3:  P^{*}=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n},\dots\}\subset{\mathbb{R}^{\mathbb{R}}} sonsuz kümesini inceleyelim. Sonuç2'ye göre  P^{*}'ın her alt kümesi lineer bağımsızdır. Sonsuz kümelerin lineer bağımsızlığının tanımına göre  P^{*} da lineer bağımsızdır.

SONUÇ4 (POLİNOM EŞİTLİĞİ):  n,m\in{\mathbb{N}}, a_{n},a_{n-1},\dots,a_{1},a_{0},b_{m},b_{m-1},\dots,b_{1},b_{0}\in{\mathbb{R}} olmak üzere  p(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x+a_{0} ve  q(x)=b_{m}x^{m}+\cdots+b_{1}x+b_{0} polinomlarını ele alalım. İki polinomun birbirine eşit olması için gerek ve yeter koşul katsayılarının eşit olmasıdır. Şimdi bunu ispatlayalım. Katsayılarının eşit olması durumunda polinomların eşit olması açıktır. Biz tersini gösterelim. Varsayalım ki  p(x)=q(x)'tir. Şimdi katsayılarının eşit olduğunu gösterelim. Genellikten birşey kaybetmeden  n\le{m} varsayabiliriz.

 b_{m}x^{m}+\cdots+b_{n+1}x^{n+1}+b_{n}x^{n}+\cdots+b_{1}x+b_{0}=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x+a_{0}

 \Rightarrow{b_{m}x^{m}+\cdots+b_{n+1}x^{n+1}+(b_{n}-a_{n})x^{n}+\cdots+(b_{1}-a_{1})x+(b_{0}-a_{0})1=0}

Örnek11'e göre  \{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{m}\} kümesi lineer bağımsız olduğundan katsayılar sıfıra eşittir. O halde,

 b_{m}=\cdots=b_{n+1}=b_{n}-a_{n}=\cdots=b_{1}-a_{1}=b_{0}-a_{0}=0, yani

 b_{m}=0,\dots,b_{n+1}=0, b_{n}=a_{n},\dots,b_{1}=a_{1}, b_{0}=a_{0}'dır.

İstenen elde edildi.

Lineer bağımsızlık veya bağımlılık cisme göre değişebilir. Bunun için örnekler verelim:

ÖRNEK12:  \mathbb{C} uzayı,  \mathbb{R} üzerinde bir vektör uzayıdır.  A=\{1,i\}\subset{\mathbb{C}} olarak seçelim ve bu kümenin lineer bağımsız olduğunu gösterelim.  a,b\in{\mathbb{R}} olsun. Kompleks sayıların özelliklerine göre

 a.1+b.i=0\Leftrightarrow{a+ib=0}\Leftrightarrow{a=0\land{b=0}}.

O halde  1 ve  i lineer bağımsızdır.

 \mathbb{C} aynı zamanda kendi üzerinde de bir vektör uzayıdır. Şimdi  A=\{1,i\}\subset{\mathbb{C}} kümesini bu koşullar altında inceleyelim.  \mathbb{C}'yi yine  \mathbb{C} üzerinde bir vektör uzayı olarak düşündüğümüz için skalerleri  \mathbb{C}'den seçebiliriz.  a=1\ne{0} ve  b=i\ne{0} olarak seçilirse

 a.1+b.i=1.1+i.i=1+i^{2}=1-1=0

olduğundan  1 ve  i lineer bağımlıdır.

Peki  1 ve  i lineer bağımlı mıdır lineer bağımsız mı? Size böyle bir soru sorulduğunda şunu söylemesiniz:

"Hangi cisim üzerinde?"

 \mathbb{C} üzerinde ise lineer bağımlı,  \mathbb{R} üzerinde ise lineer bağımsızdır.

5 yorum

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir