Kümeler

READ THIS POST IN ENGLISH

Küme kavramı matematiğin en temel kavramlarından biridir. Fakat buna rağmen otoritelerce kabul edilmiş bir tanımı yoktur. Bazı kaynaklar kümeyi “belirli özelliğe sahip olan nesnelerin topluluğu” olarak tanımlar. Bu tanım her ne kadar yaygın olsa da eksiklikleri vardır. Birincisi burada “nesne” diye adlandırılan şeyin ne olduğu belli değildir. İkinci olarak “belirli özelliğe sahip” demek yanlış olabilir. Çünkü öyle bir küme örneği verilebilir ki o kümedeki nesne’ler belirli bir özelliğe sahip değildir. Üçüncüsü ise Russell paradoksu. Russell küme kavramı üzerine koşullar konulmayınca bir paradoksun oluştuğunu ispatlamıştır. Küme kavramının tanımı üzerine ne kadar konuşsak da bu kavramın tanımını veremeyeceğimizden burada bu bahsi kapayıp kümeleri tanıtmaya başlayalım.

Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin “elemanları” denir. Kümeler genelde  A,  B,  C,  X,  Y gibi büyük harflerle, kümenin elemanları ise  a,  b,  c,  x,  y gibi küçük harflerle gösterilir. Eğer  a,  A kümesinin elemanı ise bu durumu  a\in A ile, elemanı değilse bu durumu da  a\notin A ile göstereceğiz. Kümelerin 3 çeşit gösterimi vardır.

1. Liste Yöntemi ile Gösterim: Bu gösterimde kümenin elemanları küme parantezi içinde, aralarına virgül koyularak gösterilir ve bir eleman bir defadan fazla yazılmaz. Örnek olarak  A=\{a,b,c,d,e\} verilebilir.

2. Venn Şeması ile Gösterim: Bu gösterimde kümenin elemanları bir yuvarlak (dikdörtgen de olabilir) içine yazılır. Az önceki  A=\{a,b,c,d,e\} kümesini Venn şeması ile gösterelim:

Bu iki gösterim her ne kadar kullanışlı görünse de, yalnızca sonlu kümeler bu biçimlerde gösterilebileceğinden kullanım alanları kısıtlıdır. Matematikte genelde sonsuz kümeler üzerinde çalışıldığından aşağıdaki 3. gösterimin kullanılması yaygındır. Ancak ilk iki gösterimin de kullanışlı olduğu yerler vardır. Örneğin sonlu elemanlı kümeleri göstermek için 1. gösterim uygundur. Sonlu kümeler arasındaki bağıntı ve fonksiyonları göstermek içinse de 2. gösterim kullanışlıdır.

3. Ortak Özellik Yöntemi ile Gösterim: Bu yöntemde belirli bir önerme ya da önermeleri sağlayan elemanlar bir kümede toplanır ve  \{x\vert x, p önermesini sağlar \} biçiminde gösterilir. (Bazen  \{x : x, p önermesini sağlar \} gösterimi de kullanılır)  X bir küme olsun.  X'e ait olan ve belirli bir önermeyi sağlayan elemanlar ise  \{x\in{X}\vert{x, p} önermesini sağlar \} biçiminde gösterilir. Tabiki  x yerine başka harfler de kullanılabilir. Örneğin 100'den büyük tek tamsayıların kümesi  \{ n \in \mathbb{Z}  \vert{n} tektir ve  n>{100} \} olarak gösterilir. Daha matematiksel bir gösterim olarak  \{ n \in \mathbb{Z} \vert{n>{100}} \land \exists k \in \mathbb{Z} : n=2k+1 \} kullanılabilir.

TANIM1: Hiçbir elemanı olmayan kümeye boşküme denir ve  \emptyset,  \{ \} sembollerinden biri ile gösterilir. Genelde  \emptyset sembolünün kullanımı daha yaygındır. Boşküme her ne kadar boş olsa da topoloji de ve cebirde çok önemli özellikler sağlamaktadır.

TANIM2:  A ve  B iki küme olsun. Eğer  A'nın her elemanı aynı zamanda  B'nin de elemanıysa, yani;  \forall x \in{A}, x \in{B} ise  A'ya  B'nin bir alt kümesi denir ve  A \subset{B} ile gösterilir (Bazen  A \subseteq{B} gösterimi de kullanılır).  \emptyset her kümenin alt kümesidir ( \emptyset \subset{A}). Ayrıca her küme kendisinin alt kümesidir ( A \subset{A}). Bir kümenin kendinden başka bir alt kümesine o kümenin özalt kümesi denir. Eğer  A kümesi  B kümesinin özalt kümesi ise bu durum  A \underset{\ne }{\mathop{\subset }}{B} ile gösterilir.

TANIM3:  A ve  B iki küme olsun. Eğer  A \subset{B} ve  B \subset{A} ise bu iki küme eşittir denir ve  A=B ile gösterilir.

TANIM4:  A ve  B iki küme olsun. Şimdi  A ve  B kümelerini kullanarak yeni kümeler elde edeceğiz.

 A \cup{B}=\{ x \vert{x}\in{A}\lor x\in{B}\}

biçiminde tanımlanan kümeye  A ve  B kümelerinin birleşimi denir.

 A \cap{B}=\{ x\vert{x}\in{A}\land x\in{B}\}

biçiminde tanımlanan kümeye  A ve  B kümelerinin kesişimi ya da arakesiti denir.

 A \setminus{B}=\{ x\vert{x}\in{A}\land x\notin{B}\}

biçiminde tanımlanan kümeye  A ile  B kümelerinin farkı denir.

 A \bigtriangleup{B}=(A \setminus{B}) \cup{(B \setminus{A})}

biçiminde tanımlanan kümeye de  A ve  B kümelerinin simetrik farkı denir.

Eğer  A \cap{B= \emptyset} ise  A ve  B kümelerine ayrık kümeler denir.

Şimdi bu işlemlerin birkaç elementer özelliğini verelim:

1) Birleşim, kesişim ve simetrik fark işlemlerinde  A ve  B kümelerinin yeri değiştirilebilir. Fakat fark işleminde  A kümesi ile  B kümesinin yeri değiştirilemeyebilir. Tanımından da anlaşılacağı gibi  A \setminus{B} kümesi  A kümesinde olan fakat  B kümesinde olmayan elemanları içerir. Buna göre fark işleminde kümelerin yer değişmediğine dair bir örnek verelim:  A=\{a,b,c\} ve  B=\{b,c,d\} olsun.  A \setminus{B}=\{a\} ve  B \setminus{A}=\{d\} olduğundan  A \setminus{B} \ne B \setminus{A} olduğu elde edilir.

2) Birleşim, kesişim ve simetrik fark işlemleri asosyatiflik özelliğine sahiptir. Yani;  A,B,C kümeler ise

 (A\cup{B})\cup{C}=A\cup{(B\cup{C})},

 (A\cap{B})\cap{C}=A\cap{(B\cap{C})},

 (A\bigtriangleup{B})\bigtriangleup{C}=A\bigtriangleup{(B\bigtriangleup{C})}

sağlanır. Yani üç ya da daha fazla kümenin birleşimini, kesişimini veya simetrik farkını alırken kümelerin sırası ya da hangi kümenin ilk önce işleme gireceği önemli değildir.

3)  A bir küme ise  A\cup{A}=A,  A\cap{A}=A,  A\setminus{A}=\emptyset ve  A\bigtriangleup{A}=\emptyset'dir.

4)  A ve  B kümeler olsun. Bu takdirde  A\subset{A\cup{B}},  B\subset{A\cup{B}},  A\cap{B}\subset{A} ve  A\cap{B}\subset{B} sağlanır. (Birleşim, kesişim, fark ve simetrik fark ile ilgili daha fazla özellik ispatlı olarak sorular ve çözümler bölümünde verilecektir.)

TANIM5 (KÜMELER AİLESİ):  I bir indis kümesi olmak üzere,  \forall i \in{I},  A_i bir küme olmak üzere  \mathcal{A}=\{A_i \vert i \in{A} \} kümesine bir kümeler ailesi denir. Genelde kümeler ailesi  \mathcal{A}=\{A_i\}_{i\in{I}} biçiminde daha kısa olarak gösterilir. Kümeler ailesi aslında elemanları küme olan küme, yani kümelerin kümesidir. Fakat "kümelerin kümesi" ifadesini kullanmak kafa karışıklığına yol açabileceğinden "kümeler ailesi" ifadesi kullanılmaktadır. Bunu bir örnekle pekiştirelim:  I=\{1,2,3,4\} olsun (Bu bir örnek olduğundan indis kümesini 4 elemanlı seçtim. Fakat indis kümesi daha az elemanlı, daha fazla elemanlı, sonlu elemanlı, sonsuz elemanlı, hatta  \emptyset bile olabilir). İndis kümesindeki herbir elemana bir küme karşılık getirmemiz gerekiyor.  A_1=\mathbb{N},  A_2=\mathbb{Z},  A_3=\mathbb{Q},  A_4=\mathbb{R} olsun. O halde  \mathcal{A}=\{ \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \} olur. Burada öğrencelerin genelde karıştırdığı bir konuya açıklık getireceğim. Örnekteki  \mathcal{A} kümesi bir kümeler ailesidir ve 4 elemanlıdır (Yani sonlu bir kümedir).  \mathbb{R} \in{\mathcal{A}}'dır. Reel sayılar kümesinin sonsuz olması  \mathcal{A} kümesini sonsuz yapmaz. Reel sayılar kümesini  \mathcal{A}'da herhangi bir eleman gibi düşüneceğiz. Eğer  \mathbb{R} \subset{\mathcal{A}} olsaydı o zaman  \mathcal{A} sonsuz bir kümedir diyebilirdik. Fakat böyle bir durum söz konusu olmadığından  \mathcal{A} sonlu bir kümedir.

TANIM6 (KÜMELER AİLESİNİN BİRLEŞİMİ VE KESİŞİMİ):  \{A_i\}_{i\in{I}} kümeler ailesi olsun.

 \displaystyle{\bigcup_{i\in{I}}}A_{i}=\{x\text{ }|\text{ }\exists{i}\in{I}: x\in{A_{i}}\}

kümesine  \{A_i\}_{i\in{I}} ailesinin birleşimi,

 \displaystyle{\bigcap_{i\in{I}}}A_{i}=\{x\text{ }|\text{ }\forall{i}\in{I}, x\in{A_{i}}\}

kümesine de  \{A_i\}_{i\in{I}} ailesinin kesişimi denir. Tanımdan da anlaşılacağı gibi  A_i'lerden en az birine dahil olan elemanlar birleşim kümesini,  A_i'lerin hepsinde birden bulunan elemanlar ise kesişim kümesini oluşturur.  I=\mathbb{N} olması durumunda kümeler ailesinin birleşimi

 \displaystyle{\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}}

biçiminde, kesişimi ise

 \displaystyle{\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}}

biçiminde gösterilir.

Birleşim ve kesişim işlemleri için verilen 4. özelliğin bir genelleşmesini verelim.  \{A_i\}_{i\in{I}} bir kümeler aile olsun. Bu takdirde  \forall k\in{I},

 \displaystyle{A_{k}\subset{\bigcup_{i\in{I}}A_{i}}}

ve

 \displaystyle{\bigcap_{i\in{I}}A_{i}\subset{A_{k}}}

sağlanır. Yani birleşim kümesi tüm  A_k'ları içerir, kesişim kümesi tüm  A_k'larda içerilir.

TANIM7:  \{A_i\}_{i\in{I}} bir kümeler ailesi olsun. Eğer  \forall i \ne j, A_i \cap{A_j}=\emptyset ise  \{A_i\}_{i\in{I}} ailesine ikişer ikişer ayrık kümeler ailesi denir. Örneğin  X bir küme ise  \big\{ \{x\}\text{ }|\text{ }x \in{X}\big\} kümesi ikişer ikişer ayrık kümeler ailesidir. Daha somut bir örnek verelim.  \{ [n,n+1) \}_{n=1}^{\infty} kümeler ailesi,  \forall n \ne m, [n,n+1) \cap{[m,m+1)=\emptyset} olduğundan ikişer ikişer ayrıktır.

TANIM8:  X bir küme olsun.  \mathbf{P}(X)=\{A\text{ }|\text{ }A\subset{X}\} kümesine  X'in kuvvet kümesi denir. Yani bir kümenin kuvvet kümesi o kümenin tüm altkümelerini içeren kümeler ailesidir. Bir kümenin kuvvet kümesi daima boştan farklıdır. Çünkü boşküme her kümenin alt kümesi olduğundan  X ne olursa olsun  \emptyset\in{\mathbf{X}}'tir. Örneğin  X=\emptyset ise  \mathbf{P}(X)=\{\emptyset\},  X=\{1\} ise  \mathbf{P}(X)=\{\emptyset,\{1\}\},  X=\{1,2\} ise  \mathbf{P}(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\},  X=\{1,2,3\} ise  \mathbf{P}(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\} olur.

TANIM9:  A bir küme,  \{A_i\}_{i \in{I}}\subset{\mathbf{P}}(A) bir aile olsun. Aşağıdaki iki koşul sağlanırsa  \{A_i\}_{i \in{I}}\subset{\mathbf{P}}(A) ailesine  A kümesinin bir ayrışımı (parçalanışı) denir:

i)  \displaystyle{\bigcup_{i\in{I}}A_{i}=A}

ii)  \{A_i\}_{i \in{I}} ailesi ikişer ikişer ayrıktır.

Her kümenin en az bir parçalanışı vardır. Çünkü  A bir küme ise  \big\{\{x\}\text{ }|\text{ }x\in{A}\big\} (i) ve (ii) özelliklerini sağlayan bir ailedir. Bu trivial bir örnektir. Daha somut iki örnek verelim.

ÖRNEK 1:  A=\mathbb{R} olsun. İndis kümesini  I=\mathbb{Z} olarak seçelim. Bu takdirde  n\in{\mathbb{Z}} olmak üzere  A_n=[n,n+1) ailesi  \mathbb{R}'nin bir ayrışımıdır. Çünkü

i)  \displaystyle{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}[n,n+1)=\mathbb{R}} ve

ii)  n \ne m olan  \forall n,m \in{\mathbb{Z}}, [n,n+1) \cap{[m,m+1)}=\emptyset sağlanır.

ÖRNEK 2:  n\in{\mathbb{N}} keyfi bir sabit olsun.  r(m) ile, keyfi bir  m\in{\mathbb{Z}} tamsayısının  n ile bölümünden kalan sayıyı gösterelim.  0\le k \le n-1 olmak üzere  A_k= n\mathbb{Z}+k=\{m\in{\mathbb{Z}}\text{ }|\text{ }r(m)=k\} olsun. Bu takdirde

i)  \displaystyle{\bigcup_{k=0}^{n-1}A_{k}=\mathbb{Z}} ve

ii)  k \ne l olan  \forall k,l \in{\{0,1,\dots,n-1\}}, A_k \cap{A_l}=\emptyset sağlandığından  \{A_k\}_{k=0}^{n-1} ailesi  \mathbb{Z}'in bir ayrışımıdır.

TANIM10 (EVRENSEL KÜME): Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genelde  \mathbb{E} ile gösterilir. Aslında bütün kümeleri kapsayan bir kümenin olmadığını Russell paradoksu bize söylüyor. Öyleyse  \mathbb{E} biçiminde gösterilen topluluk evrensel olsa da küme değildir diye düşünebilirsiniz. Evet doğru. Bu bir küme değildir. Fakat belirli kısıtlamalar getirilerek  \mathbb{E} küme haline getirilebilir. Bu yüzden evrensel kümenin tanımını şu şekilde değiştirelim. "Üzerinde çalıştığımız bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir." Peki bu ne anlama geliyor. Bunu şöyle açıklayalım: Örneğin Reel sayı dizileri üzerine çalışıyorsunuz. O halde siz  \mathbb{R} kümesinin dışına çıkmıyorsunuz demektir. Yani çalıştığınız en büyük küme  \mathbb{R} ve üzerinde çalıştığınız diğer bütün kümeler  \mathbb{R}'nin alt kümesi. O halde sizin evrensel kümeniz  \mathbb{R}'dir. Ya da diyelim ki asal sayılar üzerine çalışıyorsunuz. O halde sizin evrensel kümeniz tamsayılar kümesi olur. Sizin de gördüğünüz gibi aslında evrensel küme sizin çalıştığınız alana, yani sizin seçiminize bağlıdır. Evrensel kümenin seçimi komplement kavramı için oldukça önemlidir. Şimdi, bahsi geçen komplement kavramını tanıyalım:

TANIM11:  \mathbb{E} evrensel küme,  A\subset E olsun.  A^C=E\setminus{A} şeklinde tanımlanan kümeye  A kümesinin komplementi ya da tümleyeni denir. Yani  A^C,  A kümesinde olmayan  \mathbb{E}'nin elemanlarından oluşur.  A kümesinin komplementi bazı kaynaklarda  A' ile gösterilir. Evrensel kümenin seçiminin önemini bir örnekle açıklayalım:

ÖRNEK3:  A=\{0,1\} olsun.  \mathbb{E}=\mathbb{N} olarak alacak olursak  A^C=\{2,3,\dots\} olur. Şimdi de  \mathbb{E}=\mathbb{R} varsayalım. Bu durumda ise  A^C=(-\infty,0)\cup{(0,1)\cup{(1,+\infty)}} olur.

ÖNERME1:  \mathbb{E} evrensel küme,  A\subset{\mathbb{E}} ve  \{A_i\}_{i\in{I}}\subset{\mathbb{E}} olsun. Bu takdirde aşağıdakiler doğrudur:

i)  \emptyset^C=\mathbb{E},

ii)  \mathbb{E}^C=\emptyset,

iii)  (A^C)^C=A,

iv)  \displaystyle{\Big{(}\bigcup_{i\in{I}}A_{i}\Big{)}^{C}=\bigcap_{i\in{I}}(A_{i})^{C}},

v)  \displaystyle{\Big{(}\bigcap_{i\in{I}}A_{i}\Big{)}^{C}=\bigcup_{i\in{I}}(A_{i})^{C}}.

(iv) ve (v)'e De-Morgan kuralları denir.  I=\{1,2\} olduğunda (iv)  (A\cup{B})^C=A^C\cap{B^C}, (v)  (A\cap{B})^C=A^C\cup{B^C} şeklini alır.

İSPAT:

TANIM12:  X,Y\ne\emptyset iki küme,  x\in{X}, y\in{Y} olsun.  (x,y)=\{x,\{x,y\}\} şeklinde tanımlanan kümeye bir sıralı ikili denir.  x_1,x_2\in{X}, y_1,y_2\in{Y} olsun.  (x_1,y_1)=(x_2,y_2)\Leftrightarrow x_1=x_2\land{y_1=y_2} sağlanır. İki kümenin eşitliğinin tanımından bu gerçek kolayca gösterilebilir.

Genelde  (x,y)=(y,x) eşitliği doğru değildir. Sıralı ikililerin eşitliğinden

 (x,y)=(y,x)\Leftrightarrow x=y  (1)

olduğu elde edilir.

TANIM13:  X ve  Y iki küme olsun.  X\times{Y}=\{(x,y) \vert x\in{X}, y\in{Y}\} şeklinde tanımlanan kümeye  X ile  Y'nin kartezyen çarpımı denir.  (1)'den söylenebilir ki genelde  X\times{Y}\ne Y\times{X}'dir. Daha genel olarak

 X\times{Y}= Y\times{X}\Leftrightarrow X=Y\lor X=\emptyset\lor Y=\emptyset

sağlanır.

 X,  n elemanlı,  Y,  m elemanlı kümeler ise  X\times{Y},  n.m elemanlıdır.

SORU VE ÇÖZÜMLER (KÜMELER)

2 yorum

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir