Kısmi Sıralama Bağıntısı

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  X bir küme  R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer  R, yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise  R'ye bir "kısmi sıralama bağıntısı" denir ve genelde  R=\le biçiminde gösterilir.  \le,  X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise  (X,\le) ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM2:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  x,y\in{X} olsun. Eğer  x\le{y}\lor{y\le{x}} önermesi doğru ise  x ve  y elemanlarına karşılaştırılabilir denir.

TANIM3:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer,  \forall{x,y\in{X}},  x ve  y karşılaştırılabilir ise  (X,\le)'ye tam sıralı küme denir.

TANIM4:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X} olsun. Eğer  (A,\le) tam sıralı bir küme ise  A'ya  X'de bir zincir denir.

TANIM5:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X} olsun.  \forall{a}\in{A},  a_{*}\le{a} olacak biçimde  a_{*}\in{A} varsa  a_{*}'a  A'nin minimumu,  \forall{a}\in{A},  a\le{a^{*}} olacak biçimde  a^{*}\in{A} varsa  a^{*}'a  A'nin maksimumu denir.  A'nin minimumu ve maksimumu sırasıyla  \min{A} ve  \max{A} ile gösterilir.

TANIM6:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun.  A\ne{\emptyset} olan  \forall{A}\subset{X},  A'nın minimumu varsa  (X,\le)'e iyi sıralı küme denir.

ÖNERME1:  (X,\le) iyi sıralı ise tam sıralıdır.

ÖRNEK1: Reel sayılar kümesi bilinen "küçük eşit" bağıntısına göre tam sıralıdır. Fakat iyi sıralı değildir.  (0,1)\subset{\mathbb{R}} kümesi  (0,1)\ne{\emptyset} olduğu halde minimumu yoktur. Benzer şekilde Tamsayılar kümesi de tam sıralı fakat iyi sıralı değildir çünkü Tamsayılar kümesinin kendisinin minimumu yoktur.

ÖRNEK2: Doğal sayılar kümesi iyi sıralıdır. Ayrıca bir  (X,\le) kümesi iyi sıralı ise onun her alt kümesi de iyi sıralıdır.

ÖRNEK3:  E bir küme,  X=\mathbf{P}(E) olsun. Bu takdirde içerme bağıntısına göre  (X,\subset) kısmi sıralı bir kümedir. İçerme bağıntısı, her küme kendisinin alt kümesi olduğundan yansıyan,  A\subset{B}\land{B\subset{A}}\Rightarrow{A=B} olduğundan ters simetrik ve  A\subset{B}\land{B\subset{C}}\Rightarrow{A\subset{C}} olduğundan geçişkendir ( A,B,C\subset{E}).  E kümesi farklı iki  a ve  b elemanlarına sahip olsun.  A=\{a\},  B=\{b\} olarak alırsak  A\not\subseteq{B} ve  B\not\subseteq{A} olduğundan  (\mathbf{P}(E),\subset) tam sıralı değildir. Yani,  E kümesinin 2 ya da daha fazla elemanı varsa  (\mathbf{P}(E),\subset)'de karşılaştırılamayan elemanlar vardır. Ayrıca  (\mathbf{P}(E),\subset) tam sıralıdır  \iff  \arrowvert{E}\arrowvert\le{1}.  E=\mathbb{N} olsun.  \mathbb{N} sonsuz elemanlı olduğundan  (\mathbf{P}(\mathbb{N}),\subset) tam sıralı değildir. Fakat burada bir zincir örneği verebiliriz.  A_{0}=\emptyset,  A_{1}=\{1\},  A_{2}=\{1,2\},  A_{3}=\{1,2,3\}, \dots,  A_{n}=\{1,2,\dots,n\} olsun.  F=\{A_{n}\text{ }\vert\text{ }n\in{\mathbb{N}}\} olarak alırsak  A_{n}\subset{A_{m}}\Leftrightarrow{n\le{m}} olduğundan  F, (\mathbf{P}(\mathbb{N}),\subset)'nin bir zinciridir.

ÖRNEK4:  X=\mathbb{N} olsun.  R\subset{\mathbb{N}\times{\mathbb{N}}} bağıntısını  n,m\in{\mathbb{N}} olmak üzere  nRm\Leftrightarrow{n\arrowvert{m}} olarak tanımlayalım ( n\arrowvert{m}\Leftrightarrow{n},  m'i böler  \Leftrightarrow{\exists{k}\in{\mathbb{N}}: m=k.n}). Her doğal sayı kendini böldüğünden  R yansıyan,  n\arrowvert{m}\land{m\arrowvert{n}}\Rightarrow{m=n} olduğundan  R ters simetrik ve  n\arrowvert{m}\land{m\arrowvert{k}}\Rightarrow{n\arrowvert{k}} olduğundan  R geçişkendir. O halde  R,  \mathbb{N} üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır.  2\not\mid{3} ve  3\not\mid{2} olduğundan  2 ve  3 karşılaştırılamazlar. Bu yüzden  R,  \mathbb{N} üzerinde tam sıralama bağıntısı değildir.  R bağıntısına göre  \mathbb{N}'in bir zincirini vermek istersek n>1 sabit bir doğal sayı olmak üzere  F=\{n^k\text{ }\vert\text{ }k\in{\mathbb{N}}\} örneğini verebiliriz. Kolayca görülür ki bu küme bir zincirdir.

TANIM7:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X},  x_{0}\in{X} olsun.  \forall{a}\in{A},  a\le{x_{0}} ise  x_{0}'a  A'nın bir üst sınırı,  \forall{a}\in{A},  x_{0}\le{a} ise  x_{0}'a  A'nın bir alt sınırı denir. (Burada  x_{0} elemanının  A'dan seçilme zorunluluğunun olmamasına dikkat ediniz. Bir kümenin üst veya alt sınırı kümeye dahil olmak zorunda değildir. Zaten  x_{0} elemanı  A'da olsaydı, üst sınır yerine maksimum, alt sınır yerine de minimum geçerdi. Bu tanım maksimum ve minimum tanımı ile karıştırılmamalıdır. Bir kümenin maksimumu veya minimumu varsa tektir. Fakat bir kümenin üst veya alt sınırı birden fazla, hatta sonsuz tane olabilir. Ayrıca, bir kümenin maksimumu varsa bu maksimum zaten o kümenin aynı zamanda bir üst sınırıdır. Fakat bir kümenin maksimumu olmadığı halde üst sınırları var olabilir veya kümenin maksimumu varsa bu maksimumdan farklı üst sınırlar olabilir. Benzer durum minimum için de geçerlidir. Bu söylediklerimizi bir örnekle açıklayalım:

ÖRNEK5:  X=\mathbb{R},  A=(0,1) olsun.  A'nın maksimumu yoktur. Fakat  \forall{a}\in{A},  a\le{1} olduğundan  1,  A'nın bir üst sınırıdır. Benzer şekilde  \forall{a}\in{A},  a\le{12} olduğundan  12 de  A'nın bir üst sınırıdır.  A'nın bütün üst sınırları kümesini  A^{*} ile gösterirsek  A^{*}=[1,+\infty) olduğu açıktır. Görüldüğü gibi  A'nın sonsuz tane üst sınırı vardır.  A'nin alt sınırlarının kümesini de  A_{*} ile gösterirsek  A_{*}=(-\infty,0] olduğunu söyleyebiliriz.  A'nın minimumu olmadığı halde sonsuz tane alt sınırı vardır.

TANIM8:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X} olsun.  A^{*}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }\forall{a}\in{A}, a\le{x}\},  A'nın tüm üst sınırlarının kümesi ve  A_{*}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }\forall{a}\in{A}, x\le{a}\},  A'nın tüm alt sınırlarının kümesi olsun. Eğer  \overline{x}=\min{A^{*}} varsa  \overline{x}'ye  A'nın supremumu,  \underline{x}=\max{A_{*}} varsa  \underline{x}'ye  A'nın infimumu denir.  A'nın supremumu ve infimumu sırasıyla  \sup{A} ve  \inf{A} ile gösterilir.  A kümesinin supremumu üst sınırlarının en küçüğü, infimumu ise alt sınırlarının en büyüğüdür.

SUPREMUM VE İNFİMUMUN ÖZELLİKLERİ:

1) Bir kümenin infimumu ve supremumu varsa tektir.

2) Bir  A kümesinin minimumu varsa infimumu da vardır ve  \inf{A}=\min{A}'dır. Bir  A kümesinin maksimumu varsa supremumu da vardır ve  \sup{A}=\max{A}'dir. Fakat bunun tersi genelde doğru değildir. Bir kümenin supremumu varsa maksimumu, infimumu varsa minimumu olmak zorunda değildir.

3)  X=\mathbb{R} olsun. Bu takdirde  A=\emptyset seçersek  \sup{\emptyset}=-\infty,  \inf{\emptyset}=+\infty olur. Eğer  A\subset{\mathbb{R}} kümesinin üst sınırı yoksa, yani  \forall{x}\in{\mathbb{R}},  \exists{a}\in{A}:  x\le{a} ise  \sup{A}=+\infty, alt sınırı yoksa, yani  \forall{x}\in{\mathbb{R}},  \exists{a}\in{A}:  a\le{x} ise  \inf{A}=-\infty olarak kabul edilir. Bu kabulle beraber şu önerme doğrudur: Reel sayılar kümesinin her alt kümesinin supremumu ve infimumu vardır.

4)  X=\mathbb{R},  \emptyset\ne{A}\subset{\mathbb{R}},  l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde

(i)  \sup{A}=L  \iff

a)  \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b)  \forall{\varepsilon}>0,  \exists{a_{\varepsilon}}\in{A}:  L-\varepsilon<a_{\varepsilon}.

(ii)  \inf{A}=l  \iff

a)  \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b)  \forall{\varepsilon}>0,  \exists{a_{\varepsilon}}\in{A}:  a_{\varepsilon}<l+\varepsilon.

5)  \emptyset\ne{A}\subset{\mathbb{R}},  l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Bu takdirde

(i)  \sup{A}=L  \iff

a)  \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b)  \displaystyle{\exists{(x_{n})}\subset{A}: \lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=L}

(ii)  \inf{A}=l  \iff

a)  \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b)  \displaystyle{\exists{(x_{n})}\subset{A}: \lim_{n\rightarrow{\infty}}x_{n}=l}

6)  \emptyset\ne{A}\subset{\mathbb{R}},  l,L\in{\mathbb{R}} olsun. Topoloji bilenler için aşağıdaki kriteri de verebiliriz:

(i)  \sup{A}=L  \iff

a)  \forall{a}\in{A}, a\le{L},

b)  L\in{\overline{A}}.

(ii)  \inf{A}=l  \iff

a)  \forall{a}\in{A}, l\le{a},

b)  l\in{\overline{A}}.

(Burada  \overline{A},  A kümesinin kapanışını göstermektedir)

ÖRNEK6:  X=\mathbb{R},  A=(0,1) olsun. Örnek5'te de bahsedildiği gibi bu kümenin maksimumu ve minimumu yoktur. Üst sınırlarının kümesi  A^{*}=[1,+\infty)'dur. O halde  \sup{A}=\min{A}^{*}=\min{[1,+\infty)}=1'dir. Benzer yolla  \inf{A}=0 olduğu kolayca görülür.

ÖRNEK7:  E bir küme  X=\mathbf{P}(E) olsun. Bilindiği gibi  (\mathbf{P}(E),\subset) kısmi sıralı bir kümedir.  S,T\subset{E},  A=\{S,T\} olsun.  A\subset{X}'tir. Şimdi  \sup{A}=\sup{\{S,T\}} ve  \inf{A}=\inf{\{S,T\}}'yi araştıralım. Yani iki kümenin içerme bağıntısına göre supremumunu ve infimumunu araştıralım.  S\subset{S\cup{T}} ve  T\subset{S\cup{T}} olduğundan  S\cup{T} kümesi  \{S,T\} için bir üst sınırdır.  U\in{X} kümesi  \{S,T\} için başka bir üst sınır olsun. O halde  S\subset{U} ve  T\subset{U} sağlanır. Buradan  S\cup{T}\subset{U} olduğu görülür. O halde  \{S,T\} kümesinin en küçük üst sınırı  S\cup{T}'dir. Yani  \sup{\{S,T\}}=S\cup{T}'dir. Benzer şeklide  \inf{\{S,T\}}=S\cap{T}'dir.  I bir indis kümesi  \{S_{i}\}_{i\in{I}}\subset{X},  E'nin alt kümelerinin bir ailesi olsun. Bu takdirde

 \displaystyle{\sup_{i\in{I}}S_{i}=\bigcup_{i\in{I}}S_{i}} ve  \displaystyle{\inf_{i\in{I}}S_{i}=\bigcap_{i\in{I}}S_{i}}

sağlanır. Bu eşitliklerin ispatı iki küme için yapılan ispatın tamamen aynısıdır.

ÖRNEK8:  X=\mathbb{N} olsun. Kısmi sıralama bağıntısını Örnek4'deki " n\mid{m}  \iff  n,  m'i böler" olarak alalım.  n,m\in{\mathbb{N}} olsun. Gösterelim ki  \sup{\{n,m\}}=\text{ekok}\{n,m\}=[n,m] ve  \inf{\{n,m\}}=\text{ebob}\{n,m\}=(n,m)'dir. Önce supremum için ispat yapalım.  n\mid{[n,m]} ve  m\mid{[n,m]} olduğundan  [n,m],  \{n,m\} kümesi için bir üst sınırdır.  k\in{\mathbb{N}},  \{n,m\} kümesi için başka bir üst sınır olsun. O halde  n\mid{k} ve  m\mid{k} olur. Dolayısıyla  [n,m]\mid{k} sağlanır. Sonuç olarak  [n,m],  \{n,m\} kümesinin en küçük üst sınırıdır. Şimdi infimum için ispata geçelim.  (n,m)\mid{n} ve  (n,m)\mid{m} olduğundan  (n,m),  \{n,m\} kümesi için bir alt sınırdır.  k\in{\mathbb{N}},  \{n,m\} kümesi için başka bir alt sınır olsun. O halde  k\mid{n} ve  k\mid{m} olur. Dolayısıyla  k\mid{(n,m)} sağlanır. Sonuç olarak  (n,m),  \{n,m\} kümesinin en büyük alt sınırıdır.

TANIM9:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X} ve  m,M\in{A} olsun.

(i)  M\le{a} olan  \forall{a}\in{A},  M=a ise  M\in{A}'ya  A'nın bir maksimal elemanı denir.

(ii)  a\le{m} olan  \forall{a}\in{A},  m=a ise  m\in{A}'ya  A'nın bir minimal elemanı denir.

MAKSİMAL VE MİNİMAL ELEMANLARIN ÖZELLİKLERİ:

1) Maksimal ve minimal elemanın başka bir ifadesi:  M\in{A} maksimal eleman ve  a\in{A} olsun. Bu takdirde  a,  M ile karşılaştırılamaz ya da  a=M'dir. Yani  M\le{a} ve  M\ne{a} olan bir  a\in{A} yoktur. Minimal eleman için de benzer ifade geçerlidir:  m\in{A} minimal eleman ve  a\in{A} olsun. Bu takdirde  a,  m ile karşılaştırılamaz ya da  a=m'dir. Yani  a\le{m} ve  m\ne{a} olan bir  a\in{A} yoktur.

2)  A kümesinin maksimal ve minimal elemanları  A kümesine dahildir.

3) Bir kümede maksimal eleman varsa maksimum eleman, minimal eleman varsa minimum eleman olmayabilir.

4) Bir kümenin maksimal ve minimal elemanları birden fazla olabilir.

5)  a^{*},  A kümesinin maksimumu,  a_{*}, A kümesinin minimumu ise  a^{*} aynı zamanda  A kümesinin tek maksimal elemanı,  a_{*} da  A kümesinin tek minimal elemanıdır.

6) Eğer  A bir zincir ve  M maksimal eleman ise  A'da başka maksimal eleman yoktur ve  M aynı zamanda kümenin maksimumudur. Minimal eleman için de benzer ifade kullanılabilir: Eğer  A bir zincir ve  m minimal eleman ise  A'da başka minimal eleman yoktur ve  m aynı zamanda kümenin minimumudur.

ÖRNEK9:  X=\mathbb{N} olsun. " n\mid{m}  \iff  n,  m'i böler" kısmi sıralama bağıntısını alalım.  A=\{2,3,4,5,12,15\}\subset{\mathbb{N}} olsun.  A kümesinde  12'nin böldüğü  12'den başka eleman bulunmadığından  12\in{A},  A'nın bir maksimal elemanıdır. Benzer durum  15 için de geçerli olduğundan  15 de  A'nın bir maksimal elemanıdır.  A kümesinde  2'yi bölen  2'den başka eleman bulunmadığından  2\in{A},  A'nın bir minimal elemanıdır. Benzer şekilde  3 ve  5 de birer minimal elemandırlar. Bu kümede sadece  4 sayısı ne maksimal ne de minimal elemandır.  n\mid{m} gösterimi yerine  n\rightarrow{m} gösterimi kullanılırsa aşağıdaki diyagramdan maksimal ve minimal elemanların nasıl bulunacağı anlaşılır:

Ayrıca  \text{ekok}A=60 ve  \text{ebob}A=1 olduğundan  \sup{A}=60 ve  \inf{A}=1'dir.

ZORN LEMMASI:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer  X'in tüm zincirlerinin bir üst sınırı varsa  X'in en az bir maksimal elemanı vardır.

2 yorum

  • nisa

    reel sayılar nasıl iyi sıralanırr bana yardımcı olabilirmisiniz ?

  • alperen

    Zaten bu infimum ve supremum Riemann intagralinde integrali egri altındaki alanların toplamı olarak düşündüğümüzde alt Riemann ve üst Riamann toplamı olarak yazarak ispat ettiğimiz teoremlerde işimize yarıyor.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir