Bir Vektör Uzayının Boyutu

TANIM1:  K cisim olmak üzere,  K cismi üzerindeki bir  X lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve  \text{boy}X ya da  \text{boy}_{K}X ile gösterilir.  X'in sonlu bir tabanı varsa  X'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan,  X uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca  X sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre  X'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir  X lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da  n\in\mathbb{N} sabit bir sayı olmak üzere " n" dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre  K bir cisim ve  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  K^{n},  K üzerinde  n boyutludur.

» Devamını Oku

Vektör Uzaylarında Tabanlar

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı  A\subset{X} olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa  A'ya  X'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1)  \text{span}A=X,

T2)  A lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1:  K bir cisim olmak üzere  K'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz.  A=\{1\} olarak alalım.

T1)  \forall{k}\in{K} için  k=k.1 olduğundan  \text{span}\{1\}=K'dır,

» Devamını Oku

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı ve  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} olsun. Bu durumda  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi yalnızca  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda sağlanıyorsa,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda zaten  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi sağlanıyor. O halde  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminin  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımsız ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n} toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Eğer,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımlıdır

» Devamını Oku

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

 \big( X,||.|| \big) normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın  \forall{x,y}\in{X}, ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2\big( ||x||^{2}+||y||^{2} \big) koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer  (X,||.||) normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve "polarizasyon eşitliği"ni sağlar. Tersine  \big( X,||.|| \big) normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla  \big( X,(\, , ) \big) bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:

 \displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}-||x-y||^{2} \right)}  \mathbb{R}-lineer uzaylarda,

 \displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}+i||x+iy||^{2}-||x-y||^{2}-i||x-iy||^{2} \right)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}}

 \mathbb{C}-lineer uzaylarda.

Bu teoremin ispatını Reel ve Kompleks lineer uzaylarda ayrı ayrı yapacağız. Fakat ispatın bazı yerleri Reel ve Kompleks lineer uzaylar için aynı olacak. Önce birkaç lemma ispatlamamız gerekiyor:

» Devamını Oku

Vektör Uzayları

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  K en az iki elemanlı bir küme,  +:K\times{K}\rightarrow{K} ve  \cdot:K\times{K}\rightarrow{K} iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa  (K,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir:

F1)  \forall{a,b,c}\in{K}, (a+b)+c=a+(b+c),

F2)  \forall{a,b}\in{K}, a+b=b+a,

F3)  \exists{0}\in{K}: \forall{a}\in{K}, a+0=a,

» Devamını Oku