Bir Vektör Uzayının Boyutu

TANIM1:  K cisim olmak üzere,  K cismi üzerindeki bir  X lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve  \text{boy}X ya da  \text{boy}_{K}X ile gösterilir.  X'in sonlu bir tabanı varsa  X'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan,  X uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca  X sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre  X'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir  X lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da  n\in\mathbb{N} sabit bir sayı olmak üzere " n" dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre  K bir cisim ve  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  K^{n},  K üzerinde  n boyutludur.

» Devamını Oku

Vektör Uzaylarında Tabanlar

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı  A\subset{X} olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa  A'ya  X'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1)  \text{span}A=X,

T2)  A lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1:  K bir cisim olmak üzere  K'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz.  A=\{1\} olarak alalım.

T1)  \forall{k}\in{K} için  k=k.1 olduğundan  \text{span}\{1\}=K'dır,

» Devamını Oku

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı ve  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} olsun. Bu durumda  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi yalnızca  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda sağlanıyorsa,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda zaten  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi sağlanıyor. O halde  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminin  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımsız ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n} toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Eğer,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımlıdır

» Devamını Oku

Kümeler

READ THIS POST IN ENGLISH

Küme kavramı matematiğin en temel kavramlarından biridir. Fakat buna rağmen otoritelerce kabul edilmiş bir tanımı yoktur. Bazı kaynaklar kümeyi “belirli özelliğe sahip olan nesnelerin topluluğu” olarak tanımlar. Bu tanım her ne kadar yaygın olsa da eksiklikleri vardır. Birincisi burada “nesne” diye adlandırılan şeyin ne olduğu belli değildir. İkinci olarak “belirli özelliğe sahip” demek yanlış olabilir. Çünkü öyle bir küme örneği verilebilir ki o kümedeki nesne’ler belirli bir özelliğe sahip değildir. Üçüncüsü ise Russell paradoksu. Russell küme kavramı üzerine koşullar konulmayınca bir paradoksun oluştuğunu ispatlamıştır. Küme kavramının tanımı üzerine ne kadar konuşsak da bu kavramın tanımını veremeyeceğimizden burada bu bahsi kapayıp kümeleri tanıtmaya başlayalım.

Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin “elemanları” denir. Kümeler genelde  A,  B,  C,  X,  Y gibi büyük harflerle, kümenin elemanları ise  a,  b,  c,  x,  y gibi küçük harflerle gösterilir. Eğer  a,  A kümesinin elemanı ise bu durumu  a\in A ile, elemanı değilse bu durumu da  a\notin A ile göstereceğiz. Kümelerin 3 çeşit gösterimi vardır.

1. Liste Yöntemi ile Gösterim: Bu gösterimde kümenin elemanları küme parantezi içinde, aralarına virgül koyularak gösterilir ve bir eleman bir defadan fazla yazılmaz. Örnek olarak  A=\{a,b,c,d,e\} verilebilir.

2. Venn Şeması ile Gösterim: Bu gösterimde kümenin elemanları bir yuvarlak (dikdörtgen de olabilir) içine yazılır. Az önceki  A=\{a,b,c,d,e\} kümesini Venn şeması ile gösterelim:

» Devamını Oku