Vektör Uzaylarında Tabanlar

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı  A\subset{X} olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa  A'ya  X'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1)  \text{span}A=X,

T2)  A lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1:  K bir cisim olmak üzere  K'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz.  A=\{1\} olarak alalım.

T1)  \forall{k}\in{K} için  k=k.1 olduğundan  \text{span}\{1\}=K'dır,

» Devamını Oku

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı ve  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} olsun. Bu durumda  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi yalnızca  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda sağlanıyorsa,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda zaten  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi sağlanıyor. O halde  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminin  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımsız ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n} toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Eğer,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımlıdır

» Devamını Oku