Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

 X ve  Y iki normlu lineer uzay olmak üzere  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ise  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}} olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME:  X ve  Y iki normlu lineer uzay,  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ve  M\ge{0} olsun. Bu takdirde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} ve  \exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| ise  ||A||=M'dir. (Yani,  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa  ||A||=M'dir)

İSPAT:  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğundan  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}} olduğu açıktır. Öte yandan  \displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||} olduğundan  M\le{||A||}\le{M} ve dolayısıyla  ||A||=M sağlanır.

O halde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda,  ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| olacak şekilde bir

» Devamını Oku