Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

 X ve  Y iki normlu lineer uzay olmak üzere  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ise  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}} olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME:  X ve  Y iki normlu lineer uzay,  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ve  M\ge{0} olsun. Bu takdirde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} ve  \exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| ise  ||A||=M'dir. (Yani,  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa  ||A||=M'dir)

İSPAT:  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğundan  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}} olduğu açıktır. Öte yandan  \displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||} olduğundan  M\le{||A||}\le{M} ve dolayısıyla  ||A||=M sağlanır.

O halde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda,  ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| olacak şekilde bir

» Devamını Oku

Kısmi Sıralama Bağıntısı

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  X bir küme  R\subset{X\times{X}} bir bağıntı olsun. Eğer  R, yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise  R'ye bir "kısmi sıralama bağıntısı" denir ve genelde  R=\le biçiminde gösterilir.  \le,  X üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise  (X,\le) ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM2:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  x,y\in{X} olsun. Eğer  x\le{y}\lor{y\le{x}} önermesi doğru ise  x ve  y elemanlarına karşılaştırılabilir denir.

TANIM3:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme olsun. Eğer,  \forall{x,y\in{X}},  x ve  y karşılaştırılabilir ise  (X,\le)'ye tam sıralı küme denir.

TANIM4:  (X,\le) kısmi sıralı bir küme,  A\subset{X} olsun. Eğer  (A,\le) tam sıralı bir küme ise  A'ya  X'de bir zincir denir.

» Devamını Oku