Bir Vektör Uzayının Boyutu

TANIM1:  K cisim olmak üzere,  K cismi üzerindeki bir  X lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve  \text{boy}X ya da  \text{boy}_{K}X ile gösterilir.  X'in sonlu bir tabanı varsa  X'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan,  X uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca  X sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre  X'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir  X lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da  n\in\mathbb{N} sabit bir sayı olmak üzere " n" dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre  K bir cisim ve  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  K^{n},  K üzerinde  n boyutludur.

» Devamını Oku

Vektör Uzaylarında Tabanlar

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı  A\subset{X} olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa  A'ya  X'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1)  \text{span}A=X,

T2)  A lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1:  K bir cisim olmak üzere  K'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz.  A=\{1\} olarak alalım.

T1)  \forall{k}\in{K} için  k=k.1 olduğundan  \text{span}\{1\}=K'dır,

» Devamını Oku

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı ve  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} olsun. Bu durumda  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi yalnızca  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda sağlanıyorsa,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda zaten  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi sağlanıyor. O halde  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminin  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımsız ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n} toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Eğer,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımlıdır

» Devamını Oku

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

 \big( X,||.|| \big) normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın  \forall{x,y}\in{X}, ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2\big( ||x||^{2}+||y||^{2} \big) koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer  (X,||.||) normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve "polarizasyon eşitliği"ni sağlar. Tersine  \big( X,||.|| \big) normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla  \big( X,(\, , ) \big) bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:

 \displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}-||x-y||^{2} \right)}  \mathbb{R}-lineer uzaylarda,

 \displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}+i||x+iy||^{2}-||x-y||^{2}-i||x-iy||^{2} \right)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}}

 \mathbb{C}-lineer uzaylarda.

Bu teoremin ispatını Reel ve Kompleks lineer uzaylarda ayrı ayrı yapacağız. Fakat ispatın bazı yerleri Reel ve Kompleks lineer uzaylar için aynı olacak. Önce birkaç lemma ispatlamamız gerekiyor:

» Devamını Oku

Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

 X ve  Y iki normlu lineer uzay olmak üzere  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ise  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}} olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME:  X ve  Y iki normlu lineer uzay,  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ve  M\ge{0} olsun. Bu takdirde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} ve  \exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| ise  ||A||=M'dir. (Yani,  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa  ||A||=M'dir)

İSPAT:  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğundan  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}} olduğu açıktır. Öte yandan  \displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||} olduğundan  M\le{||A||}\le{M} ve dolayısıyla  ||A||=M sağlanır.

O halde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda,  ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| olacak şekilde bir

» Devamını Oku

Vektör Uzayları

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1:  K en az iki elemanlı bir küme,  +:K\times{K}\rightarrow{K} ve  \cdot:K\times{K}\rightarrow{K} iki fonksiyon olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa  (K,+,\cdot) üçlüsüne bir cisim denir:

F1)  \forall{a,b,c}\in{K}, (a+b)+c=a+(b+c),

F2)  \forall{a,b}\in{K}, a+b=b+a,

F3)  \exists{0}\in{K}: \forall{a}\in{K}, a+0=a,

» Devamını Oku