Asal Sayıların Sonsuzluğu

Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya  n diyelim, bu  n tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile  {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\,\ldots ,{{p}_{n}} diye adlandıralım, bu takdirde;

 {{p}_{1}}=2,{{p}_{2}}=3,{{p}_{3}}=5,{{p}_{4}}=7,{{p}_{5}}=11,{{p}_{6}}=13,\,\dots

olur.

Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya  k diyelim

» Devamını Oku

e sayısının irrasyonelliği üzerine

 \pi sayısı gibi  e sayısı da, çoğu yerde karşımıza çıkan, matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde;

 f\left( x \right)=c\cdot {{e}^{x}}\,\left( c, \text{herhangi bir sabit} \right)

fonksiyonu, türevi kendisi olan tek fonksiyondur.  e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve  {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}dizisinin limitidir. Bu ispatta  e sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeği kullanılmıştır.

 \pi sayısı gibi  e sayısı da irrasyoneldir. Herhangi bir irrasyonel sayının, aralarında asal  p ve  q tamsayılarının bölümü

 \displaystyle{\frac{p}{q}\,\left( (p,q)=1,\,p\in \mathbb{Z},\,q\in \mathbb{Z}\backslash \{0\} \right)}

» Devamını Oku

Euler phi Fonksiyonunun Bir Özelliği

TEOREM:  \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için  \text{ }  \displaystyle{\frac{n}{\varphi(n)}=\sum_{d|n}\frac{\mu^{2}(d)}{\varphi(d)}} dir. Burada  \mu:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z},  \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için

 \mu(n)=\left\{ \begin{array}{l} 1 \qquad ,n=1\\ (-1)^{k}, n=p_{1}p_{2}\dots p_{k}\\0 \qquad ,\exists{p\in{\mathbb{P}}}: p^{2}|n \end{array} \right.

Möbius fonksiyonu ve

 \varphi:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow\mathbb{Z^{+}},  \forall{n}\in\mathbb{Z}^{+} için  \varphi(n)=\big{|}\{m\in\mathbb{Z^{+}}\text{ }|\text{ }(n,m)=1\land{m}\le{n}\}\big{|} Euler  \varphi fonksiyonudur.

İspata geçmeden önce, sayılar teorisinde, Euler  \varphi fonksiyonunun iyi bilinen iki özelliğini verelim:

» Devamını Oku