e sayısının irrasyonelliği üzerine

 \pi sayısı gibi  e sayısı da, çoğu yerde karşımıza çıkan, matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde;

 f\left( x \right)=c\cdot {{e}^{x}}\,\left( c, \text{herhangi bir sabit} \right)

fonksiyonu, türevi kendisi olan tek fonksiyondur.  e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve  {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}dizisinin limitidir. Bu ispatta  e sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeği kullanılmıştır.

 \pi sayısı gibi  e sayısı da irrasyoneldir. Herhangi bir irrasyonel sayının, aralarında asal  p ve  q tamsayılarının bölümü

 \displaystyle{\frac{p}{q}\,\left( (p,q)=1,\,p\in \mathbb{Z},\,q\in \mathbb{Z}\backslash \{0\} \right)}

şeklinde yazılamayacağından yola çıkılarak,  e sayısının rasyonel olmadığı kolayca ispatlanır.

Aşağıda vereceğimiz, popüler ispat Joseph Fourier’a aittir:

 \displaystyle{e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=\frac{p}{q}}  \displaystyle{\left( p,q\in{{\mathbb{Z}}^{+}}, (p,q)=1 \right)} olsun.

Yukardaki eşitliğin her iki tarafını q{!} ile çarpalım:

 \displaystyle{q!\cdot e=q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\frac{q!}{4!}+\cdots +\frac{q!}{q!}+\cdots=(q-1)!p}

olduğundan,  q!\cdot e sayısı bir tamsayıdır ve dolayısıyla

 \displaystyle{q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\frac{q!}{4!}+\cdots +\frac{q!}{q!}+\cdots}

toplamı da bir tamsayıdır.  \displaystyle{q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\frac{q!}{4!}+\cdots +\frac{q!}{q!}} sonlu toplamı da bir tamsayı olduğundan

 \displaystyle{\frac{q!}{q!}} dan sonra gelen terimlerin toplamı da bir tamsayı olmalıdır. Bu toplama  R dersek:

 \displaystyle{R=q!\left( \frac{1}{(q+1)!}+\frac{1}{(q+2)!}+\frac{1}{(q+3)!}+\cdots \right)}

 \displaystyle{=\frac{1}{\left( q+1 \right)}+\frac{1}{\left( q+1 \right)\cdot \left( q+2 \right)}+\frac{1}{\left( q+1 \right)\cdot \left( q+2 \right)\cdot \left( q+3 \right)}+\cdots}

 \displaystyle{<\frac{1}{\left( q+1 \right)}+\frac{1}{{{\left( q+1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( q+1 \right)}^{3}}}+\cdots}

 \displaystyle{=\frac{1}{q+1}\left[ 1+\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)^{2}}+\cdots \right]}

 \displaystyle{=\left( \frac{1}{q+1} \right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}} \right)=\left( \frac{1}{q+1} \right) \left( \frac{q+1}{q} \right)=\frac{1}{q}}

Yani  \displaystyle{R<\frac{1}{q}} bulunur.  R nin tanımına bakarsak,  q pozitif olduğundan  R de pozitiftir. Böylece  R,  0 ve  \displaystyle{\frac{1}{q}} arasında pozitif bir tamsayıdır. Bu bir çelişkidir. Sonuçta  e sayısının rasyonel olduğu kabulü yanlıştır. O halde  e irrasyoneldir.

6 yorum

  • sibel

    ( $laex q!\cdot e$ ) olan bolum nedir acaba? ve R= li işlemin altındaki satırda 1/(q+1)+1/(q+2)(q+2) ... yazılmıs 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2) ... olması gerekmez mi? Bunun haricinde kanıt çok hoş :)

  • meraklı

    ik saattir anlamadığım bi şey var.. aradım durdum.. " IR" nedir? irrasyonel mi? cevap verirseniz sevinirim..

  • alperen

    Çok güzel ispat ama anlamadığım bir sey var yada unutmuş oldugum bir sey. Bu serinin toplamının e olduğunu nasıl ispatlıyorduk. Yani (1/1!)+(1/2!)+........=e oldugunu nasıl buluyorduk. Sanırım serilerin ispatını bilmek lazım.

    • $latex e^{x}$ fonksiyonunu Taylor serisine açtığımızda $latex \displaystyle{e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}}$ elde ediyoruz. Sonra da $latex x=1$ yazdığımızda $latex \displaystyle{e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}$ çıkıyor.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir