Fonksiyonel Analiz Problemleri | Akademik Matematik

Arşiv

Kategori: Fonksiyonel Analiz Problemleri

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

Şub 5

$\big( X,||.|| \big)$ normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın $\forall{x,y}\in{X}$ , $||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2\big( ||x||^{2}+||y||^{2} \big)$ koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer $(X,||.||)$ normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve “polarizasyon eşitliği”ni sağlar. Tersine $\big( X,||.|| \big)$ normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla $\big( X,(\, , ) \big)$ bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:

$\displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}-||x-y||^{2} \right)}$ $\mathbb{R}$ -lineer uzaylarda,

$\displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}+i||x+iy||^{2}-||x-y||^{2}-i||x-iy||^{2} \right)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}}$

devamını oku…

1 Yorum banach, banach uzayı, gerek ve yeter, gerek ve yeter koşul, hilbert, hilbert uzayı, iç çarpım, kompleks lineer uzay, lineer, lineer dönüşüm, norm, özdeşliği, paralelkenar, paralelkenar eşitliği, paralelkenar özelliği, polarizasyon, polarizasyon eşitliği, reel lineer uzay, toplamsal fonksiyon, vektör Devamı

Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

Şub 4

Fonksiyonel Analiz Problemleri

$X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay olmak üzere $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ise $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}$ olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da “supremum maksimuma eşit midir” problemi vardır. Ben, önceleri her sınırlı lineer operatörün normunun maksimum ile hesaplanabileceğini düşündüm. Günlerce bunu ispatlamaya çalıştım ama nafile, çıkmıyordu. Sonra, acaba aksi bir örnek var mıdır diye düşündüm, uğraştım ve en son aşağıda yayımlayacağım örneği inşa ettim. Çok sevinmiştim bu problemi çözünce. Hemen gidip bu örneği hocam Nazım Kerimov ile paylaştım ve onun büyük bir takdirini kazandım.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME: $X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay, $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ve $M\ge{0}$ olsun. Bu takdirde $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ ve $\exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ ise $||A||=M$ ’dir. (Yani, $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa $||A||=M$ ’dir)

devamını oku…

2 Yorum aksi örnek, fonksiyonel, Fonksiyonel Analiz Problemleri, lineer, lineer operatör, maksimum, norm, operatör, operatörün normu, sınırlı, sınırlı lineer operatör, sınırlı operatör, sürekli fonksiyonlar uzayı, türev operatörü, türevi sürekli fonksiyonlar uzayı Devamı

lp Uzayları ile Sınırlı Diziler Uzayındaki Normların İlişkisi

Ara 26

Fonksiyonel Analiz Problemleri, Yıldızlı Problemler ve Çözümleri

Fonksiyonel analiz okuyan biri $1\le{p}<{+\infty}$ olmak üzere $l_{p}$ uzaylarında bir $x=(x_{n})$ dizisi için $\displaystyle{\lim_{p\rightarrow{\infty}}\|x\|_{p}=\|x\|_{\infty}}$ eşitliğine en az bir defa şahit olmuştur. Fakat bu yargının ispatı genelde Türkçe kitaplarda ve internette yoktur. Şimdi bu önermenin ispatını yapacağız. Bu ispat, lemmalar da dahil olmak üzere tamamıyla bana (Ufuk KAYA) aittir. Sizden ricam şudur: Bu ispatı bir yerde kullanacaksanız lütfen telif hakkının www.akademikmatematik.com‘a ait olduğunu belirtiniz.