Analiz | Akademik Matematik

Arşiv

Kategori: Analiz

Reel Sayılar

Mar 27

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı $\mathbb{R}$ kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her $\left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ için $\left( x,y \right)\to x+y\in \mathbb{R}$ şeklinde tanımlı $+:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

devamını oku…

Bir yorum yaz açık aralık, açık aralıklar, açık aralıların özellikleri, alt sınır, alt ve üst sınır, alttan sınırlı, alttan sınırlı küme, alttan sınırlı reel sayı kümeleri, alttan sınırlı reel sayı kümesi, alttan sınırlı sayı kümeleri, alttan sınırlı sayı kümesi, alttan sınırsız, alttan sınırsız küme, alttan sınırsız kümeler, alttan ve üstten sınırlı, aralıkların boyu, aralıkların uzunluğu, artı ile artının çarpımı artı, artı ile eksinin çarpımı eksi, artı sonsuz, asosyatiflik, bir kümenin alt sınırı, bir kümenin supremumu ve infimumu, bir kümenin üst sınırı, bir reel sayının modülü, bir reel sayının mutlak değeri, bir sayının modülü, bir sayının mutlak değeri, birim elemanın tekliği, çarpma, çarpma aksiyonları, çarpma işlemi, çarpmanın değişme özelliği, çarpmaya göre birim eleman, dağılma özelliği, değişme özelliği, eksi ile eksinin çarpımı artı, eksi sonsuz, eksi sonsuz artı sonsuz ilave etme, en büyük alt sınır, en küçük üst sınır, etkisiz eleman, geneleşmiş reel sayılar, genelleştirilmiş reel sayıların özellikleri, genişletilmiş reel sayılar, gerçel sayılar, iki reel sayı arasındaki mesafe, iki reel sayı arasındaki uzaklık, iki sayı arasındaki mesafe, iki sayı arasındaki uzaklık, inf, infimum, infimum ispat, infimum ispatı, infimumun ispatı, infimumun özellikleri, kapalı aralık, kapalı aralıklar, kapalı aralıkların özellikleri, kümeler supremum infimum, maksimum, minimum, modül, mutlak değer, mutlak değer ispat, mutlak değer özellikler, mutlak değer özellikleri, mutlak değerin ispatı, mutlak değerin özellikleri, negatif, negatif reel sayılar, negatif sayılar, pozitif, pozitif reel sayılar, pozitif sayılar, r kapanış, r nin kompaklaştırılması, reel sayılar, reel sayılar tamdır, reel sayılarda mutlak değeri mutlak değer fonksiyonu, reel sayılarda sıralama, reel sayıların aksiyomatik yapısı, reel sayıların inşası, reel sayıların sıralanması, reel sayıların tamlığı, sıfır, sıfır elemanının tekliği, sıfırın tekliği, sınırlı, sınırlı aralık, sınırlı aralıklar, sınırlı kümeler, sınırsız aralık, sınırsız aralıklar, sınırsız kümeler, sıralama aksiyomları, sonsuz aralık, sonsuz aralıklar, sup, supremum, supremum infimum problemleri, supremum ispat, supremum ispatı, supremumun özellikleri, tamlık aksiyomu, ters elemanın tekliği, ters üçgen eşitsizliği, ters üçgen eşitsizliği ispat, toplama, toplama aksiyomları, toplama işlemi, toplama işleminin çarpma işlemi üzerine dağılma özelliği, toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği, toplamanın değişme özelliği, toplamaya göre ters eleman, üçgen eşitsizliği, üçgen eşitsizliği ispat, üst sınır, üstten sınırlı, üstten sınırlı küme, üstten sınırlı reel sayı kümeleri, üstten sınırlı reel sayı kümesi, üstten sınırlı sayı kümeleri, üstten sınırlı sayı kümesi, üstten sınırsız, üstten sınırsız küme, üstten sınırsız kümeler, yarı açık aralık, yarı açık aralıklar, yarı açık aralıkların özellikleri Devamı

Fonksiyonlar

Eyl 29

Analiz, Soyut Matematik

Fonksiyonlar matematiğin en önemli kavramlarından biridir. Hatta o kadar önemlidir ki matematiğin tanımını “matematik kümeler arasındaki fonksiyonları inceleyen bilim dalıdır” şeklinde yapanlar vardır. Tabiki bu tanım doğru değildir. Fakat fonksiyonların ne derece önemli olduğunu belirtmek için böyle bir örnek verdim. Matematik uzaktan bir su birikintisine benzer. Yanına gelirsin göl olur. İçine girersin deniz olur. Ve açılırsın okyanus olur.

TANIM1: $X$ ve $Y$ iki küme, $f\subset{X\times{Y}}$ bir bağıntı olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa $f$ bağıntısına bir fonksiyon denir:

1. $\forall{x}\in{X}, \exists{y}\in{Y}: (x,y)\in{f}$ ,

devamını oku…

Bir yorum yaz 1-1, 1-1 örten, 1-1 örten fonksiyon örnekleri, birebir, birebir örten, birebir örten fonksiyon, birebir örten fonksiyon örneği, birebir örten fonksiyon örnekleri, birim fonksiyon, fonksiyon, fonksiyon örnekleri, fonksiyona örnek, function, functions, görüntü kümesi, kümenin resmi, kümenin ters resmi, örten, özdeşlik fonksiyonu, tanım kümesi, ters resim Devamı

Denklik Bağıntısı

Ağu 25

Analiz, Soyut Matematik

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1: $X$ bir küme $R\subset{X\times{X}}$ bir bağıntı olsun. Eğer $R$ , yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise $R$ ’ye bir denklik bağıntısı denir ve genelde $R=\sim$ biçiminde gösterilir.

TANIM2: $\sim$ , $X$ üzerinde bir denklik bağıntısı, $a\in{X}$ olsun. $\overline{a}=\{x\in{X}\text{ }\vert\text{ }a\sim{x}\}\subset{X}$ kümesine $a$ ’nın denklik sınıfı denir. $a$ ’nın denklik sınıfı bazı kaynaklarda $[a]_{\sim}$ olarak da gösterilir. $\forall{a}\in{X}$ , $a\in{\overline{a}}$ olduğundan $\overline{a}\ne{\emptyset}$ ’dir.

devamını oku…

Bir yorum yaz analiz 1, analiz denklik bağıntısı, analiz I vize, ayrışım, bağıntılar, bir kümenin ayrışımı, bir kümenin parçalanışı, denklik, denklik bağıntısı, denklik sınıfı, denklik sınıfları, geçişken, kısmi sıralama bağıntısı, parçalanış, simetrik, sınıf temsilcisi, yansıyan, yansıyan simetrik geçişken Devamı

Kısmi Sıralama Bağıntısı

Ağu 13

Analiz, Soyut Matematik

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1: $X$ bir küme $R\subset{X\times{X}}$ bir bağıntı olsun. Eğer $R$ , yansıyan, ters simetrik ve geçişken bir bağıntı ise $R$ ’ye bir “kısmi sıralama bağıntısı” denir ve genelde $R=\le$ biçiminde gösterilir. $\le$ , $X$ üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ise $(X,\le)$ ikilisine kısmi sıralanmış küme denir.

TANIM2: $(X,\le)$ kısmi sıralı bir küme, $x,y\in{X}$ olsun. Eğer $x\le{y}\lor{y\le{x}}$ önermesi doğru ise $x$ ve $y$ elemanlarına karşılaştırılabilir denir.

devamını oku…

Bir yorum yaz alt sınırların en küçüğü, alttan sınırlı, bir kümenin supremumu ve infimumu, bölümsel sıralanmış küme, bölümsel sıralı, bölümsel sıralı küme, ebob, ebob ekok, ebob ve ekok, ekok, en büyük ortak bölen, en küçük ortak kat, infimum, infimum ispatı, infimum kriteri, infimum kriterleri, infimum problemleri, infimum varlığı, infimumun varlığı, iyi sıralama, iyi sıralama bağıntısı, iyi sıralanmış, iyi sıralanmış küme, iyi sıralı küme, kısmi sıralama bağıntısı, kümede zincir, kümeler supremum infimum, kümelerde alt sınır, kümelerde üst sınır, lineer sıralama bağıntısı, lineer sıralı küme, maksimal, maksimal eleman, maksimal minimal, maksimal ve minimal, maksimal ve minimal elemanlar, maksimum, maksimum eleman, maksimum minimum, maksimum ve minimum, maksimum ve minimum elemanlar, matematik infa, matematik supa, matematikte zincir, minimal, minimal eleman, minimum, minimum eleman, obeb, obeb okek, obeb ve okek, okek, ortak bölenlerin en büyüğü, ortak katların en küçüğü, reel sayılarda infimum, reel sayılarda infimum ve supremumun varlığı, reel sayılarda supremum, semi order, semi ordered, sınırlı, sınırlı küme, sıra, sıra teori, sıra teorisi sıralama teorisi, supremum, supremum infimum problemleri, supremum ispatı, supremum kriteri, supremum kriterleri, supremum problemleri, supremum varlığı, supremum ve infimum kriteri, supremum ve infimum kriterleri, supremum ve infimumun varlığı, supremumun varlığı, tam sıralama, tam sıralama bağıntısı, tam sıralanmış küme, tam sıralanmış kümeler, tam sıralı küme, tam sıralı kümeler, üst sınırların en büyüğü, üstten sınırlı, yarı sıralama, yarı sıralama bağıntısı, yarı sıralanmış küme, zincir, zorn, zorn lemması, zorn's lemma Devamı

Bağıntılar

Tem 17

Analiz, Soyut Matematik

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1: $X$ ve $Y$ iki küme olsun. $X\times Y$ ’nin herhangi bir alt kümesine $X$ ’den $Y$ ’ye bir bağıntı denir. Bazı kaynaklarda bağıntının tanımı verilirken $X,Y\ne\emptyset$ olarak verilir ve $X\times Y$ ’nin boştan farklı herhangi bir alt kümesine bağıntı denir. Yani $\emptyset$ bir bağıntı olarak kabul edilmez. Halbuki boşkümenin bir bağıntı olması matematiğin herhangi bir dalına herhangi bir problem yaratmaz. Aksine, boşkümenin bir bağıntı olarak kabul edilmesi topos teoride çok önemli bir rol oynar.

$X, n$ elemanlı, $Y, m$ elemanlı kümeler ise $X\times Y, n.m$ elemanlı bir kümedir. $X$ ’den $Y$ ’ye bir bağıntı aynı zamanda $\mathbf{P}(X\times Y)$ ’nin bir elemanı olduğundan $X$ ’den $Y$ ’ye tüm bağıntıların sayısı $2^{n.m}$ ’dir. $X$ ve $Y$ boş olmayan kümeler ve en az biri sonsuz elemanlı ise $X$ ’den $Y$ ’ye tüm bağıntıların kümesi de sonsuz elemanlıdır.

devamını oku…

Bir yorum yaz analiz 1 vize, bağıntı, bağıntılar, bağıntılar konu anlatımı, bağıntıların bileşkesi, denklik bağıntısı, matematik bölümü, sıralama bağıntıları, ters bağıntı, yarı sıralama bağıntısı Devamı

İndis Kümesi

Tem 11

Analiz, Soyut Matematik

READ THIS POST IN ENGLISH

İndis kümesi matematikte çok kullanılan bir kavramdır. Şimdi bu kavramı tanıyalım.

devamını oku…

Bir yorum yaz bir kümenin indislenmesi, index, index kümesi, index set, indis, indis kümesi, kümeyi indislemek Devamı

Russell Paradoksu

Tem 11

Analiz, Soyut Matematik

READ THIS POST IN ENGLISH

19. yüzyılın sonlarına kadar matematikçiler herhangi nesnelerin topluluğuna küme demişlerdir. Doğal sayılar kümesi, Reel sayılar kümesi, Çift sayılar kümesi, Kümelerin kümesi, Tüm kümelerin kümesi, bunu çok fazla örnekle pekiştirmek mümkün. O zamana kadar tüm matematikçiler küme olmanın tek şartının sadece nesnelerin bir araya gelmesi olduğuna inanmışlar ve bundan en ufak bir şüphe duymamışlardır. Ta ki Bertrand Russell’ın paradoksu ortaya çıkana kadar. Russell, küme için “herhangi nesnelerin topluğuna küme adı verilir” şeklinde bir tanım verildiğinde, kümeler kuramının bir paradoksa sürüklendiğini ispatlamıştır. Şimdi Russell paradoksunu inceleyelim. Varsayalım ki herhangi nesnelerin topluluğuna küme denir. O halde tüm kümelerin oluşturduğu topluluk da bir kümedir. Bu kümeye $X$ diyelim. Buna göre bütün kümeler $X$ ’in elemanıdır. Yani $A$ herhangi bir kümeyse $A \in{X}$ ’tir. $X$ de bir küme olduğuna göre $X \in{X}$ ’tir. Şimdi, bu $X$ kümesinin bir alt kümesini inşa edelim. $Y=\{A \in{X}\text{ }\vert\text{ }A \notin{A} \}$ olsun. Çelişkiye doğru adım adım ilerliyoruz. Acaba $Y \in{Y}$ ya da $Y \notin{Y}$ önermelerinden hangisi doğrudur. Şimdi, varsayalım ki $Y \in{Y}$ doğrudur. O halde $Y$ ’nin elemanları kendisinin elemanı olmayan kümeler olduğundan $Y \notin{Y}$ doğru olur. Tersine $Y \notin{Y}$ varsayalım. O halde $Y$ tanıma göre $Y$ ’nin elemanıdır. Yani $Y \in{Y}$ . Buradan şöyle bir sonuca varılır.

$Y \in{Y} \Leftrightarrow Y \notin{Y}$ .

devamını oku…

Bir yorum yaz paradoks, paradox, russell, russell paradoksu, russell paradoksunun çözümü, russell paradoxu Devamı

Kümeler

Tem 9

Analiz, Soyut Matematik

READ THIS POST IN ENGLISH

Küme kavramı matematiğin en temel kavramlarından biridir. Fakat buna rağmen otoritelerce kabul edilmiş bir tanımı yoktur. Bazı kaynaklar kümeyi “belirli özelliğe sahip olan nesnelerin topluluğu” olarak tanımlar. Bu tanım her ne kadar yaygın olsa da eksiklikleri vardır. Birincisi burada “nesne” diye adlandırılan şeyin ne olduğu belli değildir. İkinci olarak “belirli özelliğe sahip” demek yanlış olabilir. Çünkü öyle bir küme örneği verilebilir ki o kümedeki nesne’ler belirli bir özelliğe sahip değildir. Üçüncüsü ise Russell paradoksu. Russell küme kavramı üzerine koşullar konulmayınca bir paradoksun oluştuğunu ispatlamıştır. Küme kavramının tanımı üzerine ne kadar konuşsak da bu kavramın tanımını veremeyeceğimizden burada bu bahsi kapayıp kümeleri tanıtmaya başlayalım.

Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin “elemanları” denir. Kümeler genelde $A$ , $B$ , $C$ , $X$ , $Y$ gibi büyük harflerle, kümenin elemanları ise $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ gibi küçük harflerle gösterilir. Eğer $a$ , $A$ kümesinin elemanı ise bu durumu $a\in A$ ile, elemanı değilse bu durumu da $a\notin A$ ile göstereceğiz. Kümelerin 3 çeşit gösterimi vardır.