Bir Vektör Uzayının Boyutu
TANIM1: cisim olmak üzere,
cismi üzerindeki bir
lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve
ya da
ile gösterilir.
'in sonlu bir tabanı varsa
'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.
Şimdi bu tanımı inceleyelim:
Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan, uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca
sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre
'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir
lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da
sabit bir sayı olmak üzere "
" dir.
ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.
ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre bir cisim ve
olmak üzere
,
üzerinde
boyutludur.
ÖRNEK3: olarak, sadece
elemanını içeren
uzayını alalım. Bu uzayın tabanı
kabul edilir. O halde
uzayı
boyutludur.
ÖRNEK4: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek5'e göre ,
üzerinde
,
üzerinde
boyutludur. Yani
ve
'dir.
ÖNERME1: bir
-vektör uzayı olsun. Bu takdirde,
a) sonlu boyutlu ise
'in tüm
altuzayları da sonlu boyutludur ve
'tir.
b) sonlu boyutlu ve
altuzayı
özelliğini sağlıyorsa
'tir.
c) 'in bir alt uzayı sonsuz boyutlu ise kendisi de sonsuz boyutludur.
ÖRNEK5: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek8'e göre, kümesi
, tüm reel katsayılı polinomlar uzayının bir tabanı olduğundan
uzayı sonsuz boyutludur.
Ayrıca uzayı, Örnek8'deki
uzayında içerindiğinden,
uzayı da Önerme1c ile sonsuz boyutludur.
ÖNERME2: ,
üzerinde sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu takdirde
sayılabilirdir.
SONUÇ1: reel sayılar uzayı,
üzerinde bir lineer uzaydır.
sayılamaz bir küme olduğundan Önerme2'ye göre
üzerinde sonlu boyutlu olamaz. Dolayısıyla sonsuz boyutludur.
"Her cisim kendisi üzerinde bir vektör uzayıdır, gösteriniz." Bunun ispatı konusunda yardımınıza ihtiyacım var.
Burada yayımladığınız bilgiler için teşekkür ederim. Gerçekten çok istifade ettim...
gerçekten güzel anlatım. paylaşım için teşekkürler sayenizde işimize yarayacak güzel bilgiler ediniriyoruz.
W1 ve W2, V vektör uzayının sonlu boyutlu iki uzayı iseler; dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1nW2) şeklindedir. teoreminin ayrıntılı bir şekilde ispatını yapar mısınız bu gün saat 12:00 a kadar ....(not: n sembolü kesişimi kastetmek için kullandım)
merhabalar. istediğiniz teoremin ispatı banada gerekli acaba bana yardımcı olabilir misiniz?