TANIM1: $K$ cisim olmak üzere, $K$ cismi üzerindeki bir $X$ lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve $\text{boy}X$ ya da $\text{boy}_{K}X$ ile gösterilir. $X$'in sonlu bir tabanı varsa $X$'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan, $X$ uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca $X$ sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre $X$'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir $X$ lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da $n\in\mathbb{N}$ sabit bir sayı olmak üzere "$n$" dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre $K$ bir cisim ve $n\in{\mathbb{Z}^{+}}$ olmak üzere $K^{n}$, $K$ üzerinde $n$ boyutludur.

ÖRNEK3: $X$ olarak, sadece $\theta$ elemanını içeren $\{\theta\}$ uzayını alalım. Bu uzayın tabanı $\emptyset$ kabul edilir. O halde $\{\theta\}$ uzayı $0$ boyutludur.

ÖRNEK4: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek5'e göre $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$ üzerinde $2$, $\mathbb{C}$ üzerinde $1$ boyutludur. Yani $\text{boy}_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2$ ve $\text{boy}_{\mathbb{C}}\mathbb{C}=1$'dir.

ÖNERME1: $X$ bir $K$-vektör uzayı olsun. Bu takdirde,

a) $X$ sonlu boyutlu ise $X$'in tüm $M$ altuzayları da sonlu boyutludur ve $\text{boy}M\le{\text{boy}X}$'tir.

b) $X$ sonlu boyutlu ve $M\subset{X}$ altuzayı $\text{boy}M=\text{boy}X$ özelliğini sağlıyorsa $M=X$'tir.

c) $X$'in bir alt uzayı sonsuz boyutlu ise kendisi de sonsuz boyutludur.

İSPAT:

ÖRNEK5: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek8'e göre, $A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n},\dots\}$ kümesi

$X=P^{*}=\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\, |\, a_{k}\in{\mathbb{R}}, 0\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\}$, tüm reel katsayılı polinomlar uzayının bir tabanı olduğundan $P^{*}$ uzayı sonsuz boyutludur.

Ayrıca $X=P^{*}$ uzayı, Örnek8'deki $X'=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\:|\: f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}\;\text{fonksiyondur}\}$ uzayında içerindiğinden, $X'$ uzayı da Önerme1c ile sonsuz boyutludur.

ÖNERME2: $X$, $\mathbb{Q}$ üzerinde sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu takdirde $X$ sayılabilirdir.

İSPAT:

SONUÇ1: $\mathbb{R}$ reel sayılar uzayı, $\mathbb{Q}$ üzerinde bir lineer uzaydır. $\mathbb{R}$ sayılamaz bir küme olduğundan Önerme2'ye göre $\mathbb{Q}$ üzerinde sonlu boyutlu olamaz. Dolayısıyla sonsuz boyutludur.