Bir Vektör Uzayının Boyutu

TANIM1:  K cisim olmak üzere,  K cismi üzerindeki bir  X lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve  \text{boy}X ya da  \text{boy}_{K}X ile gösterilir.  X'in sonlu bir tabanı varsa  X'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan,  X uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca  X sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre  X'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir  X lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da  n\in\mathbb{N} sabit bir sayı olmak üzere " n" dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre  K bir cisim ve  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  K^{n},  K üzerinde  n boyutludur.

ÖRNEK3:  X olarak, sadece  \theta elemanını içeren  \{\theta\} uzayını alalım. Bu uzayın tabanı  \emptyset kabul edilir. O halde  \{\theta\} uzayı  0 boyutludur.

ÖRNEK4: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek5'e göre  \mathbb{C},  \mathbb{R} üzerinde  2,  \mathbb{C} üzerinde  1 boyutludur. Yani  \text{boy}_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2 ve  \text{boy}_{\mathbb{C}}\mathbb{C}=1'dir.

ÖNERME1:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Bu takdirde,

a)  X sonlu boyutlu ise  X'in tüm  M altuzayları da sonlu boyutludur ve  \text{boy}M\le{\text{boy}X}'tir.

b)  X sonlu boyutlu ve  M\subset{X} altuzayı  \text{boy}M=\text{boy}X özelliğini sağlıyorsa  M=X'tir.

c)  X'in bir alt uzayı sonsuz boyutlu ise kendisi de sonsuz boyutludur.

İSPAT:

ÖRNEK5: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek8'e göre,  A=\{1,x,x^{2},x^{3},\dots,x^{n},\dots\} kümesi

 X=P^{*}=\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}\, |\, a_{k}\in{\mathbb{R}}, 0\le{k}\le{n}, n\in{\mathbb{N}}\}, tüm reel katsayılı polinomlar uzayının bir tabanı olduğundan  P^{*} uzayı sonsuz boyutludur.

Ayrıca  X=P^{*} uzayı, Örnek8'deki  X'=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}=\{f\:|\: f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}\;\text{fonksiyondur}\} uzayında içerindiğinden,  X' uzayı da Önerme1c ile sonsuz boyutludur.

ÖNERME2:  X,  \mathbb{Q} üzerinde sonlu boyutlu bir lineer uzay olsun. Bu takdirde  X sayılabilirdir.

İSPAT:

SONUÇ1:  \mathbb{R} reel sayılar uzayı,  \mathbb{Q} üzerinde bir lineer uzaydır.  \mathbb{R} sayılamaz bir küme olduğundan Önerme2'ye göre  \mathbb{Q} üzerinde sonlu boyutlu olamaz. Dolayısıyla sonsuz boyutludur.

5 yorum

  • Pınar

    "Her cisim kendisi üzerinde bir vektör uzayıdır, gösteriniz." Bunun ispatı konusunda yardımınıza ihtiyacım var.

  • Enes

    Burada yayımladığınız bilgiler için teşekkür ederim. Gerçekten çok istifade ettim...

  • bülent radef

    gerçekten güzel anlatım. paylaşım için teşekkürler sayenizde işimize yarayacak güzel bilgiler ediniriyoruz.

  • samet

    W1 ve W2, V vektör uzayının sonlu boyutlu iki uzayı iseler; dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1nW2) şeklindedir. teoreminin ayrıntılı bir şekilde ispatını yapar mısınız bu gün saat 12:00 a kadar ....(not: n sembolü kesişimi kastetmek için kullandım)

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir