Asal Sayıların Sonsuzluğu

Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya  n diyelim, bu  n tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile  {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\,\ldots ,{{p}_{n}} diye adlandıralım, bu takdirde;

 {{p}_{1}}=2,{{p}_{2}}=3,{{p}_{3}}=5,{{p}_{4}}=7,{{p}_{5}}=11,{{p}_{6}}=13,\,\dots

olur.

Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya  k diyelim

 k=\left( {{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} \right)+1

 k asal sayı olamaz, çünkü tanımladığımız bütün asal sayılardan büyüktür, o yüzden  1 ve kendisi hariç bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. O halde  \exists i=\overline{1,n}  {{p}_{i}}|k. Aynı zamanda  {{p}_{i}} asalı  {{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} sayısının da bir böleni olduğundan  {{p}_{i}}|{{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} elde edilir. Buradan  {{p}_{i}}|k-{{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\dots {{p}_{n}}\Rightarrow {{p}_{i}}|1 elde edilir. Bu ise çelişkidir. Bir asal sayı  1’i bölemez. Buna göre varsayımımız yanlıştır. Yani sonsuz tane asal sayı vardır.

Euler’in de bu konuda bir ispatı vardır. Hatta o daha genel bir hali ispatlamıştır. Asalsayıların 1 bölü hallerini (reciprocal) toplarsak, bu toplamın sonsuz olacağını ispat etmiş yani,

 \displaystyle{\sum\limits_{p \text{ asal}}{\frac{1}{p}=}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\cdots}

toplamının sonsuz olduğunu göstermiştir. Eğer asal sayılar sonlu sayıda olsaydı, sonlu tane sayının toplamı olarak bu toplam sonlu olacaktı, ama değil, bu yüzden asal sayılar sonsuz sayıdadır.

4 yorum

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir