Asal Sayıların Sonsuzluğu
Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;
Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.
Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya diyelim, bu
tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile
diye adlandıralım, bu takdirde;
olur.
Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya diyelim
asal sayı olamaz, çünkü tanımladığımız bütün asal sayılardan büyüktür, o yüzden
ve kendisi hariç bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. O halde
. Aynı zamanda
asalı
sayısının da bir böleni olduğundan
elde edilir. Buradan
elde edilir. Bu ise çelişkidir. Bir asal sayı
’i bölemez. Buna göre varsayımımız yanlıştır. Yani sonsuz tane asal sayı vardır.
Euler’in de bu konuda bir ispatı vardır. Hatta o daha genel bir hali ispatlamıştır. Asalsayıların 1 bölü hallerini (reciprocal) toplarsak, bu toplamın sonsuz olacağını ispat etmiş yani,
toplamının sonsuz olduğunu göstermiştir. Eğer asal sayılar sonlu sayıda olsaydı, sonlu tane sayının toplamı olarak bu toplam sonlu olacaktı, ama değil, bu yüzden asal sayılar sonsuz sayıdadır.
yıllar öncesinden kalma ve hala önümüzde bizi zorluyor nelere kadirsin matematik
bize ilk ispatı öğrettiler
Teşekkürler,
Üniversitede elementer cebir dersinde bu ispatı sınavda yapabilmek için kaç kere yazdığımı hatırladım şimdi
Dolaylı ispat yapmış, yani öteki ise doğrudan ispat yapmış. Euler dogrudan ispat, diğeri ise aksini farzedip cekişki elde ederek ispat etmiş.