Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya $n$ diyelim, bu $n$ tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile ${{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\,\ldots ,{{p}_{n}}$ diye adlandıralım, bu takdirde;

${{p}_{1}}=2,{{p}_{2}}=3,{{p}_{3}}=5,{{p}_{4}}=7,{{p}_{5}}=11,{{p}_{6}}=13,\,\dots$

olur.

Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya $k$ diyelim

$k=\left( {{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}} \right)+1$

$k$ asal sayı olamaz, çünkü tanımladığımız bütün asal sayılardan büyüktür, o yüzden $1$ ve kendisi hariç bir sayıya, dolayısıyla bir asal sayıya bölünmesi gerekir. O halde $\exists i=\overline{1,n}$ ${{p}_{i}}|k$. Aynı zamanda ${{p}_{i}}$ asalı ${{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}}$ sayısının da bir böleni olduğundan ${{p}_{i}}|{{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\ldots {{p}_{n}}$ elde edilir. Buradan ${{p}_{i}}|k-{{p}_{1}}.{{p}_{2}}.{{p}_{3}}.{{p}_{4}}\dots {{p}_{n}}\Rightarrow {{p}_{i}}|1$ elde edilir. Bu ise çelişkidir. Bir asal sayı $1$’i bölemez. Buna göre varsayımımız yanlıştır. Yani sonsuz tane asal sayı vardır.

Euler’in de bu konuda bir ispatı vardır. Hatta o daha genel bir hali ispatlamıştır. Asalsayıların 1 bölü hallerini (reciprocal) toplarsak, bu toplamın sonsuz olacağını ispat etmiş yani,

$\displaystyle{\sum\limits_{p \text{ asal}}{\frac{1}{p}=}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\cdots}$

toplamının sonsuz olduğunu göstermiştir. Eğer asal sayılar sonlu sayıda olsaydı, sonlu tane sayının toplamı olarak bu toplam sonlu olacaktı, ama değil, bu yüzden asal sayılar sonsuz sayıdadır.