Reel Sayılar

On 27 Mart 2010, in Analiz, by admin

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı $\mathbb{R}$ kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her $\left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ için $\left( x,y \right)\to x+y\in \mathbb{R}$ şeklinde tanımlı $+:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

I ${{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a+b=b+a$ ,

I ${{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a+(b+c)=(a+b)+c$ ,

I ${{}_{3}}.\,\exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in \mathbb{R},a+0=a$ ( $0$ ’a toplamaya göre sıfır veya etkisiz eleman denir),

I ${{}_{4}}.\,\forall a\in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R}:a+b=0$ ( $b$ ’ye $a$ ’nın toplamaya göre tersi denir).

Üzerinde ${{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}},{{I}_{4}}$ özelliklerini sağlayan $\left( X,+ \right)$ ikilisine bir değişmeli toplamsal grup (veya Abel grubu) denir. O halde, $\left( \mathbb{R},+ \right)$ bir değişmeli toplamsal gruptur.

II. ÇARPMA AKSİYOMLARI:

Her $\left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ için $\left( x,y \right)\to x\cdot y\in \mathbb{R}$ şeklinde tanımlı $\cdot :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

II ${{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a\cdot b=b\cdot a$ ,

II ${{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ ,

II ${{}_{3}}.\,\exists 1\in \mathbb{R}:\forall a\in \mathbb{R},a\cdot 1=a$ ( $1$ ’e çarpmaya göre birim eleman denir),

II ${{}_{4}}.\,\forall a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\exists b\in \mathbb{R},a\cdot b=1$ ( $b$ elemanına $a$ ’nın çarpmaya göre tersi denir).

$a$ ve $b$ elemanlarının çarpımı, çoğu zaman $a\cdot{b}$ yerine $ab$ ile gösterilir.

III. ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

Her $a,b,c\in \mathbb{R}$ için $(a+b)\cdot c=ac+bc.$

Üzerinde I, II, III özelliklerini sağlayan $(X,+,\cdot)$ üçlüsüne bir cisim denir. O halde $(\mathbb{R},+,\cdot)$ bir cisimdir.

IV. SIRALAMA AKSİYOMLARI:

$\mathbb{R}$ üzerinde " $<$ " bağıntısı verilmiştir ve $a\ne b$ olan herhangi $a,b\in \mathbb{R}$ için $a<b$ ve $b<a$ önermelerinden bir ve yalnız biri doğrudur. Bu durumda $a\le b$ $\Leftrightarrow$ $a<b$ veya $a=b$ olarak tanımlanır. Ayrıca " $<$ " bağıntısı aşağıdaki özellikleri sağlar:

IV ${{}_{1}}.\,a<b$ ve $b<c\Rightarrow a<c$ ,

IV ${{}_{2}}.\,a<b\Rightarrow \,\forall c\in \mathbb{R},\,a+c<b+c$ ,

IV ${{}_{3}}.\,a<b$ ve $0<c\Rightarrow \,ac<bc$ .

Bu özelliklere göre " $\le$ " bir tam sıralama bağıntısıdır.

V. TAMLIK AKSİYOMU:

$\mathbb{R}$ ’nin boş olmayan $A$ ve $B$ alt kümeleri $\forall a\in A$ ve $\forall b\in B$ için $a\le b$ eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda, $\forall a\in A$ ve $\forall b\in B$ için $a\le c\le b$ olacak şekilde $c\in \mathbb{R}$ elemanı vardır.

Reel sayıların diğer tüm özellikleri I, II, III, IV, V aksiyomlarından ispatlanabilir. Bu özelliklerden bir kısmını bir teorem olarak verelim:

TEOREM1:

1. $\mathbb{R}$ 'de toplamaya göre sıfır elemanı tektir.

2. $\mathbb{R}$ 'de her elemanın toplamsal tersi tektir. (Her bir $a\in \mathbb{R}$ elemanının toplamaya göre tersi $-a$ ile, $a+\left( -b \right)=a-b$ ile gösterilir)

3. $\forall a,b\in \mathbb{R}$ için $x+a=b$ denkleminin tek bir $x=b+(-a)=b-a$ çözümü vardır.

4. $\mathbb{R}$ ’de çarpmaya göre birim eleman tektir.

5. Her $a\ne 0$ sayısının çarpmaya göre tersi tektir. ( $ab=1$ ise $\displaystyle{b={{a}^{-1}}=\frac{1}{a}}$ olarak , $a,b\in R$ ve $b\ne 0$ için $\displaystyle{a{{b}^{-1}}=a\cdot\frac{1}{b}=\frac{a}{b}}$ olarak gösterilir)

6. $\forall a,b\in \mathbb{R}\,(a\ne 0)$ için $a\cdot x=b$ denkleminin tek bir $\displaystyle{x=b\cdot {{a}^{-1}}=b\cdot \frac{1}{a}=\frac{b}{a}}$ çözümü vardır.

7. Her $a\in \mathbb{R}$ için $a\cdot 0=0$ .

8. $a\cdot b=0\,\Rightarrow \,a=0\,\,\text{veya}\,\,b=0$ .

9. Her $a\in \mathbb{R}$ için $(-1)\cdot a=-a$ .

10. Her $a\in \mathbb{R}$ için $(-1)\cdot (-a)=a$ .

11. Her $a\in \mathbb{R}$ için $(-a)\cdot (-a)=a\cdot a={{a}^{2}}$ .

12. Herhangi $a,b\in \mathbb{R}$ için

$a<b\wedge b\le c\Rightarrow a<c$ ,

$a\le b\wedge b<c\Rightarrow a<c$ .

13. Herhangi $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ için

$0<a\Rightarrow -a<0$ ,

$a\le b\wedge c\le d\Rightarrow a+c\le b+d$ ,

$a\le b\wedge c<d\Rightarrow a+c<b+d$ .

14. $a,b,c\in \mathbb{R}$ olmak üzere

$0<a\wedge 0<b\Rightarrow 0<ab$ ,

$a<0\wedge 0<b\Rightarrow ab<0$ ,

$a<0\wedge b<0\Rightarrow 0<ab$ ,

$a<b\wedge c<0\Rightarrow bc<ac$ .

15. $0<a\Rightarrow 0<{{a}^{-1}}$ .

16. $0<a\wedge a<b\Rightarrow 0<{{b}^{-1}}\wedge {{b}^{-1}}<{{a}^{-1}}$ .

İSPAT:

$0<a$ (veya $a>0$ ) eşitsizliğini sağlayan sayılara pozitif, $a<0$ sayılara ise negatif sayılar denir, sırasıyla ${{\mathbb{R}}^{+}}=\left\{ x\in \mathbb{R}\:|\:x>0 \right\}$ ve ${{\mathbb{R}}^{-}}=\left\{ x\in \mathbb{R}\:|\:x<0 \right\}$ ile gösterilir.

TANIM2: Boş olmayan bir $X\subset{\mathbb{R}}$ kümesi verilsin.

i) Her $x\in X$ için $x\le b$ olacak biçimde bir $b\in \mathbb{R}$ sayısı varsa, $X$ kümesine üstten sınırlıdır denir ve $b$ sayısına da $X$ kümesinin bir üst sınırı denir.

ii) Her $x\in X$ için $a\le x$ olacak biçimde bir $a\in \mathbb{R}$ sayısı varsa, $X$ kümesine alttan sınırlıdır denir ve $a$ sayısına da $X$ kümesinin bir alt sınırı denir.

iii) $X$ hem alttan ve hem de üstten sınırlı ise, yani her $x\in X$ için $a\le x\le b$ olacak şekilde $a$ ve $b$ sayıları varsa, $X$ 'e sınırlı küme denir.

iv) Her $x\in X$ için $x\le M$ olacak şekilde bir $M\in X$ elemanı varsa, $M$ 'ye $X$ kümesinin maksimum (veya en büyük) elemanı denir ve $M=\underset{x\in X}{\mathop{\max }}\,\left\{ x \right\}$ veya $M=\max \left\{ x|x\in X \right\}$ şeklinde gösterilir.

v) Her $x\in X$ için $m\le x$ olacak şekilde bir $m\in X$ elemanı varsa, $m$ 'ye $X$ kümesinin minimum (veya en küçük) elemanı denir ve $m=\underset{x\in X}{\mathop{\min }}\,\left\{ x \right\}$ veya $m=\min \left\{ x|\,x\in X \right\}$ şeklinde gösterilir.

Örneğin $X=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,-1<x<1 \right\}$ kümesinin minimum veya maksimum elemanları yoktur. Fakat $Y=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,-1\le x\le 1 \right\}$ kümesinin minimum ve maksimum elemanları vardır ve sırasıyla $-1$ ve $1$ dir.

$X\subset \mathbb{R}$ alt kümesi üstten sınırlı olduğunda,

$B=\left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}$

kümesi boş değildir. Benzer şekilde, $X\subset \mathbb{R}$ alt kümesi alttan sınırlı olduğunda,

$A=\left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}$

kümesi boş değildir.

TANIM3:

(i) $X\subset{\mathbb{R}}$ alt kümesi üstten sınırlı ise $B=\left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}$ kümesinin en küçük elemanına $X$ kümesinin en küçük üst sınırı denir ve $\sup{X}$ ile gösterilir.

(ii) $X\subset{\mathbb{R}}$ alt kümesi alttan sınırlı ise $A=\left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}$ kümesinin en büyük elemanına $X$ kümesinin en büyük alt sınırı denir ve $\inf{X}$ ile gösterilir.

Bu tanıma göre,

$\sup{X}=\min \left\{ b\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, x\le{b} \right\}$

$\inf{X}=\max \left\{ a\in \mathbb{R}|\,\forall{x}\in{X}, a\le{x} \right\}$

dir.

$\mathbb{R}$ 'nin her alt kümesinin maksimum ve minimumu yoktur. Peki supremum ve infimum için de aynı durum geçerli midir? Bu sorunun cevabı aşağıdaki teorem ile verilebilir:

TEOREM2 (Üst Sınır Problemi): $\mathbb{R}$ 'nin boştan farklı ve üstten sınırlı her alt kümesinin bir tek en küçük üst sınırı (supremumu) vardır. (Bu özelliğe supremum özelliği denir)

İSPAT:

Yukardaki teoreme benzer olarak aşağıdaki teorem ispatlanabilir:

TEOREM3 (Alt Sınır Problemi): $\mathbb{R}$ 'nin boştan farklı ve alttan sınırlı her alt kümesinin bir tek en büyük alt sınırı (infimumu) vardır. (Bu özelliğe infimum özelliği denir)

TEOREM4: $\varnothing\ne{X}\subset{\mathbb{R}}$ ve $l,L\in{\mathbb{R}}$ olsun. Bu takdirde aşağıdakiler doğrudur:

(i) $\sup{X}=L$ $\iff$

(a) $\forall{x}\in{A}, x\le{L}$ ,

(b) $\forall{\varepsilon}>0$ , $\exists{x_{\varepsilon}}\in{X}:$ $L-\varepsilon<x_{\varepsilon}$ .

(ii) $\inf{X}=l$ $\iff$

(a) $\forall{x}\in{X}, l\le{x}$ ,

(b) $\forall{\varepsilon}>0$ , $\exists{x_{\varepsilon}}\in{X}:$ $x_{\varepsilon}<l+\varepsilon$ .

İSPAT:

TANIM4: $a$ ve $b$ iki reel sayı ve $a<b$ olsun. $\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a<x<b \right\}$ kümesine $a$ başlangıçlı $b$ bitimli açık aralık denir ve $\left( a,b \right)$ (veya $\left] a,b \right[$ ) şeklinde gösterilir. Benzer olarak $\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a\le x\le b \right\}$ kümesine $a$ başlangıçlı $b$ bitimli kapalı aralık denir ve $\left[ a,b \right]$ şeklinde gösterilir. Ayrıca yarı açık aralıklar aşağıdaki gibi tanımlanır:

$\left( a,b \right]=\left] a,b \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a<x\le b \right\}$ $a$ ’da açık $b$ ’de kapalı yarı açık aralık,

$\left[ a,b \right)=\left[ a,b \right[=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,a\le x<b \right\}$ $a$ ’da kapalı $b$ ’de açık yarı açık aralık.

$a,b\in \mathbb{R}$ olmak üzere $(a,+\infty)$ , $[a,+\infty)$ , $(-\infty,b)$ , $(-\infty,b]$ ve $(-\infty,+\infty)$ aralıkları aşağıdaki şekilde tanımlanır:

$(a,+\infty)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x>a \right\}$ ,

$[a,+\infty)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\ge a \right\}$ ,

$(-\infty,b)=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x<b \right\}$ ,

$(-\infty,b]=\left\{ x\in \mathbb{R}\,|\,x\le b \right\}$ ,

$(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}$ reel sayılar kümesine $-\infty$ ve $+\infty$ ile gösterilen ve eksi sonsuz, artı sonsuz olarak okunan iki yeni sembolü ilave etmek suretiyle elde edilen $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\}$ kümesine genişletilmiş reel sayılar kümesi denir. Bu yeni tanımlanan kümenin aşağıdaki koşulları sağladığı kabul edilir:

1. $\forall x\in \mathbb{R}$ için,

a) $-\infty <x<+\infty$ ,

b) $x-(+\infty )=x-\infty =-\infty$ ,

c) $x+(+\infty )=x+\infty =+\infty$ ,

d) $x-(-\infty )=x+\infty =+\infty$ ,

a) $+\infty +(+\infty )=+\infty$ ,

b) $-\infty +(-\infty )=-\infty$ ,

3. $\forall x\in {{\mathbb{R}}_{+}}$ için,

a) $x(+\infty )=+\infty$ ,

b) $x(-\infty )=-\infty$ ,

4. $\forall x\in {{\mathbb{R}}_{-}}$ için,

a) $x(+\infty )=-\infty$ ,

b) $x(-\infty )=+\infty$ ,

a) $(+\infty )(+\infty )=+\infty$ ,

b) $(-\infty )(-\infty )=+\infty$ ,

c) $(+\infty )(-\infty )=-\infty$ ,

6. $\forall x\in \mathbb{R}$ için,

a) $\displaystyle{\frac{x}{+\infty }=0}$ ,

b) $\displaystyle{\frac{x}{-\infty }=0}$ .

Boş olmayan $X\subset \overline{\mathbb{R}}$ alt kümesi verilsin. Eğer $X$ kümesi alttan sınırlı değilse $\inf X=-\infty$ , üstten sınırlı değilse $\sup X=+\infty$ gibi tanımlanır. Buna göre, $\overline{\mathbb{R}}$ ’ın boş olmayan her alt kümesinin hem infimumu hem de supremumu vardır.

TANIM5: $x\in \mathbb{R}$ sayısının mutlak değeri (veya modülü) aşağıdaki gibi tanımlanır:

$|x|=\bigg\{$ ${\:\:\:}x,\:\:x\ge{0}\\-x,\,x<0$

TEOREM5:

i) $\forall{x}\in{\mathbb{R}}$ , $|-x|=|x|\ge{0}$ ,

ii) $|x|=0\Leftrightarrow{x=0}$ ,

iii) $\forall{x}\in{\mathbb{R}}$ , $-x\le{|x|}$ ve $x\le{|x|}$ ,

iv) $\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}$ , $|ab|=|a||b|$ ve $\displaystyle{\left| \frac{a}{b} \right| =\frac{|a|}{|b|}}$ $(b\ne{0})$ ,

v) $\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}$ , $|a\pm{b}|\le{|a|+|b|}$ ,

vi) $\forall{a,b}\in{\mathbb{R}}$ , $\big| |a|-|b| \big| \le{|a-b|}$ ,

vii) $|x|<r\Leftrightarrow{-r<x<r}$ ,

viii) $|x|\le{r}\Leftrightarrow{-r\le{x}\le{r}}$ ,

ix) $|x|>r\Leftrightarrow{x<-r\lor{x>r}}$ ,

x) $|x|\ge{r}\Leftrightarrow{x\le{-r}\lor{x\ge{r}}}$ .

İSPAT:

$a\in \mathbb{R}$ ve $b\in \mathbb{R}$ sayıları için $\left| a-b \right|=\left| b-a \right|$ sayısına $a$ ve $b$ noktaları arasındaki uzaklık (mesafe) denir ve $d\left( a,b \right)$ ile gösterilir.