2010 Şubat

Bir Vektör Uzayının Boyutu

On 19 Şubat 2010, in Matematik, by admin

TANIM1: $K$ cisim olmak üzere, $K$ cismi üzerindeki bir $X$ lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve $\text{boy}X$ ya da $\text{boy}_{K}X$ ile gösterilir. $X$ 'in sonlu bir tabanı varsa $X$ 'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan, $X$ uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca $X$ sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre $X$ 'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir $X$ lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da $n\in\mathbb{N}$ sabit bir sayı olmak üzere " $n$ " dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre $K$ bir cisim ve $n\in{\mathbb{Z}^{+}}$ olmak üzere $K^{n}$ , $K$ üzerinde $n$ boyutludur.

Vektör Uzaylarında Tabanlar

On 15 Şubat 2010, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir $K$ -vektör uzayı $A\subset{X}$ olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa $A$ 'ya $X$ 'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1) $\text{span}A=X$ ,

T2) $A$ lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1: $K$ bir cisim olmak üzere $K$ 'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. $A=\{1\}$ olarak alalım.

T1) $\forall{k}\in{K}$ için $k=k.1$ olduğundan $\text{span}\{1\}=K$ 'dır,

Tagged with: lineer • lineer bağımlı • lineer bağımlılık • lineer bağımsız • lineer bağımsızlık • Lineer Cebir • lineer cebir vizeleri • lineer kombinasyonlar • polinom • polinom eşitliği • polinomların eşitliği • taban • tabanlar • üniversite matematiği • uzayın tabanı • vektör • vektör uzayları

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

On 12 Şubat 2010, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir $K$ -vektör uzayı ve $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ olsun. Bu durumda $c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K}$ olmak üzere $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta$ denklemi yalnızca $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ durumunda sağlanıyorsa, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ durumunda zaten $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta$ denklemi sağlanıyor. O halde $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir. $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta$ denkleminin $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ elemanları lineer bağımsız ve $c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K}$ sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}$ toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2: $X$ bir $K$ -vektör uzayı olsun. Eğer, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ lineer bağımlıdır

Tagged with: lineer • lineer bağımlı • lineer bağımlılık • lineer bağımsız • lineer bağımsızlık • Lineer Cebir • lineer cebir vizeleri • lineer kombinasyonlar • polinom • polinom eşitliği • polinomların eşitliği • üniversite matematiği • vektör • vektör uzayları

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

On 05 Şubat 2010, in Matematik, by admin

$\big( X,||.|| \big)$ normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın $\forall{x,y}\in{X}, ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2\big( ||x||^{2}+||y||^{2} \big)$ koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer $(X,||.||)$ normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve "polarizasyon eşitliği"ni sağlar. Tersine $\big( X,||.|| \big)$ normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla $\big( X,(\, , ) \big)$ bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:

$\displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}-||x-y||^{2} \right)}$ $\mathbb{R}$ -lineer uzaylarda,

$\displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}+i||x+iy||^{2}-||x-y||^{2}-i||x-iy||^{2} \right)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}}$

$\mathbb{C}$ -lineer uzaylarda.

Norm ile iç çarpım arasındaki bağıntıyı veren bu özelliği fonksiyonel analiz okuyan biri mutlaka görmüştür. Fakat bunun ispatı ne internette ne de kitaplarda vardır. En iyi fonksiyonel analiz kitaplarında bile yalnızca ispatın yöntemi gösterilmiş. Şimdi, 3 yılda tamamladığım bu ispatı siz akademikmatematik.com kullanıcılarıyla paylaşacağım:

Tagged with: banach • banach uzayı • gerek ve yeter • gerek ve yeter koşul • hilbert • hilbert uzayı • iç çarpım • kompleks lineer uzay • lineer • lineer dönüşüm • norm • özdeşliği • paralelkenar • paralelkenar eşitliği • paralelkenar özelliği • polarizasyon • polarizasyon eşitliği • reel lineer uzay • toplamsal fonksiyon • vektör

Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

On 04 Şubat 2010, in Matematik, by admin

$X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay olmak üzere $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ise $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}$ olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır. Ben, önceleri her sınırlı lineer operatörün normunun maksimum ile hesaplanabileceğini düşündüm. Günlerce bunu ispatlamaya çalıştım ama nafile, çıkmıyordu. Sonra, acaba aksi bir örnek var mıdır diye düşündüm, uğraştım ve en son aşağıda yayımlayacağım örneği inşa ettim. Çok sevinmiştim bu problemi çözünce. Hemen gidip bu örneği hocam Nazım Kerimov ile paylaştım ve onun büyük bir takdirini kazandım.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME: $X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay, $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ve $M\ge{0}$ olsun. Bu takdirde $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ ve $\exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ ise $||A||=M$ 'dir. (Yani, $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa $||A||=M$ 'dir)

İSPAT: $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğundan $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}}$ olduğu açıktır. Öte yandan $\displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||}$ olduğundan $M\le{||A||}\le{M}$ ve dolayısıyla $||A||=M$ sağlanır.