Reel Sayılar

READ THIS POST IN ENGLISH

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı \mathbb{R} kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her \left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} için \left( x,y \right)\to x+y\in \mathbb{R} şeklinde tanımlı +:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

I{{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a+b=b+a,

» Devamını Oku

Asal Sayıların Sonsuzluğu

Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya  n diyelim, bu  n tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile  {{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\,\ldots ,{{p}_{n}} diye adlandıralım, bu takdirde;

 {{p}_{1}}=2,{{p}_{2}}=3,{{p}_{3}}=5,{{p}_{4}}=7,{{p}_{5}}=11,{{p}_{6}}=13,\,\dots

olur.

Şimdi bütün bu asal sayıları çarpıp, bu çarpımı 1 ile toplayalım, çıkan sayıya  k diyelim

» Devamını Oku

e sayısının irrasyonelliği üzerine

 \pi sayısı gibi  e sayısı da, çoğu yerde karşımıza çıkan, matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde;

 f\left( x \right)=c\cdot {{e}^{x}}\,\left( c, \text{herhangi bir sabit} \right)

fonksiyonu, türevi kendisi olan tek fonksiyondur.  e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve  {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}dizisinin limitidir. Bu ispatta  e sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeği kullanılmıştır.

 \pi sayısı gibi  e sayısı da irrasyoneldir. Herhangi bir irrasyonel sayının, aralarında asal  p ve  q tamsayılarının bölümü

 \displaystyle{\frac{p}{q}\,\left( (p,q)=1,\,p\in \mathbb{Z},\,q\in \mathbb{Z}\backslash \{0\} \right)}

» Devamını Oku

Bir Vektör Uzayının Boyutu

TANIM1:  K cisim olmak üzere,  K cismi üzerindeki bir  X lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve  \text{boy}X ya da  \text{boy}_{K}X ile gösterilir.  X'in sonlu bir tabanı varsa  X'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan,  X uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca  X sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre  X'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir  X lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da  n\in\mathbb{N} sabit bir sayı olmak üzere " n" dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre  K bir cisim ve  n\in{\mathbb{Z}^{+}} olmak üzere  K^{n},  K üzerinde  n boyutludur.

» Devamını Oku

Vektör Uzaylarında Tabanlar

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı  A\subset{X} olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa  A'ya  X'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1)  \text{span}A=X,

T2)  A lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1:  K bir cisim olmak üzere  K'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz.  A=\{1\} olarak alalım.

T1)  \forall{k}\in{K} için  k=k.1 olduğundan  \text{span}\{1\}=K'dır,

» Devamını Oku

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

TANIM1:  X bir  K-vektör uzayı ve  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} olsun. Bu durumda  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} olmak üzere  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi yalnızca  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda sağlanıyorsa,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 durumunda zaten  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denklemi sağlanıyor. O halde  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir.  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta denkleminin  c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} elemanları lineer bağımsız ve  c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K} sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa  c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n} toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2:  X bir  K-vektör uzayı olsun. Eğer,  x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

 x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X} lineer bağımlıdır

» Devamını Oku

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

 \big( X,||.|| \big) normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın  \forall{x,y}\in{X}, ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2\big( ||x||^{2}+||y||^{2} \big) koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer  (X,||.||) normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve "polarizasyon eşitliği"ni sağlar. Tersine  \big( X,||.|| \big) normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla  \big( X,(\, , ) \big) bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:

 \displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}-||x-y||^{2} \right)}  \mathbb{R}-lineer uzaylarda,

 \displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}+i||x+iy||^{2}-||x-y||^{2}-i||x-iy||^{2} \right)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}}

 \mathbb{C}-lineer uzaylarda.

Bu teoremin ispatını Reel ve Kompleks lineer uzaylarda ayrı ayrı yapacağız. Fakat ispatın bazı yerleri Reel ve Kompleks lineer uzaylar için aynı olacak. Önce birkaç lemma ispatlamamız gerekiyor:

» Devamını Oku

Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

 X ve  Y iki normlu lineer uzay olmak üzere  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ise  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}} olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME:  X ve  Y iki normlu lineer uzay,  A:X\rightarrow{Y} sınırlı lineer operatör ve  M\ge{0} olsun. Bu takdirde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} ve  \exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| ise  ||A||=M'dir. (Yani,  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa  ||A||=M'dir)

İSPAT:  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğundan  \displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}} olduğu açıktır. Öte yandan  \displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||} olduğundan  M\le{||A||}\le{M} ve dolayısıyla  ||A||=M sağlanır.

O halde  \forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||} olduğunda,  ||Ax_{0}||=M||x_{0}|| olacak şekilde bir

» Devamını Oku

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Jacques Salomon Hadamard, Fransa Versailles’te 8 Aralık 1865 günü doğdu. Yahudi asıllı Fransız matematikçinin babası Latince ; annesi piyano öğretmeniydi.

1884 yılında Ecole Normale ’e girdi. Burada, 1892 yılında D.Sc. derecesini aldı. 1909 yılından 1937 yılına kadar College de France’da profesör olarak matematik öğretmenliği yaptı. Aynı zamanda, 1912 yılıyla 1937 yılları arasında Ecole Polytechnique’te çalıştı. Önemli buluşları, karmaşık fonksiyonlar kuramı, sayılar kuramı ve diferansiyel denklemler üzerinedir. Çalışmalarının birçoğu, uygulamalı matematiğin her dalına etkili oldu ve matematiğin gelişmesini sağladı.

Serilerin yakınsaklık yarıçapını veren formülü çok kullanılır. Çok sayıda eseri vardır. Paris’te, 17 Ekim 1963 günü 98 yaşında öldü.

Daha detaylı bilgi almak için ingilizce sayfayı ziyaret edin;

http://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard

» Devamını Oku

Guillaume François Antoine De L'Hospital (1661-1704)

Guillaume François Antoine De L'Hospital (1661-1704)

Nazim Kerimov hocamızın bize anlatımına göre size gerçek bilgileri aktarmak istiyorum.

Aslında L'Hospital matematikçi bile değildir. Johann Bernoulli fakir ve üretken bir matematikçi olduğundan onun teoremlerini, ispatlarını satın alarak kendi adıyla yayınlayan birisidir. Limitler için L'Hospital Kuralı 'nın da asıl sahibi Bernoulli 'dir.

Bu bilgiler ışığında L'Hospital 'in matematiğe meraklı amatör bir matematikçi olduğu anlaşılabilir. L'Hospital 1661 'de Paris'te doğmuştur. Asil ve zengin üst tabaka bir Fransız ailesinden gelir. Asil bir aileden gelmesi nedeniyle bir süvari alayında yüzbaşı rütbesi ile görev yaptı. Ancak gözlerinin ileri derecede bozuk olması ve matematiğe olan yoğun ilgisi ve yeteneği sonucu askerliği bırakarak tamamen matematiğe yöneldi.Bernoulli 'nin öğretmenliğinde yetişmiştir.Ancak daha sonra pek çok çalışmasının aslında Bernaulli'ye ait olduğu ortaya çıkmıştır. (Nazım Hoca 'nın dediği gibi) Bu gerçekten sonra 1694 yılında Bernoulli ile bir anlaşma yaptı. Bu anlaşmaya göre L 'Hôpital Bernoulli'ye her yıl 300 Frank ödemiş -bugünkü telif ücreti gibi- ve çalışmalarından ve keşiflerinden bilgi sahibi olmuş, daha sonra bunu kendi yazdığı kitaplarda kullanmıştır. 1704 'de, L'Hôpital'in ölümünden sonra, Bernoulli bu anlaşmayı açıkladı ve L'Hôpital'in kitaplarındaki pek çok sonucun aslında kendine ait olduğunu iddia etti. 1922 yılında çıkan metinler Bernoulli'nin haklı olduğunu çıkardı.

Analiz konusundaki kitabı;

» Devamını Oku

1 2 3