Akademik Matematik

Reel Sayılar

On 27 Mart 2010, in Analiz, by admin

TANIM1: Aşağıdaki beş takım aksiyomu gerçekleyen en az iki elemanlı $\mathbb{R}$ kümesine reel (gerçel) sayılar kümesi, elemanlarına da reel (gerçel) sayılar denir.

I. TOPLAMA AKSİYOMLARI:

Her $\left( x,y \right)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ için $\left( x,y \right)\to x+y\in \mathbb{R}$ şeklinde tanımlı $+:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlar:

I ${{}_{1}}.\,\forall a,b\in \mathbb{R},a+b=b+a$ ,

I ${{}_{2}}.\,\forall a,b,c\in \mathbb{R},a+(b+c)=(a+b)+c$ ,

Asal Sayıların Sonsuzluğu

On 27 Mart 2010, in Matematik, by admin

Asal sayılar sonsuz tanedir. Şimdi bunu ispatlayalım;

Euclid’in M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan ispatı sizlerle paylaşacağım. Çelişki yöntemiyle asal sayıların sonsuzluğunu ispatlayacağız.

Farz edelim ki sonlu sayıda asal sayı vardır, bu sonlu sayıya $n$ diyelim, bu $n$ tane asal sayının büyüklük sıralamasını yapalım, ve bunları sırası ile ${{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},\,\ldots ,{{p}_{n}}$ diye adlandıralım, bu takdirde;

${{p}_{1}}=2,{{p}_{2}}=3,{{p}_{3}}=5,{{p}_{4}}=7,{{p}_{5}}=11,{{p}_{6}}=13,\,\dots$

olur.

Tagged with: asal • asal sayı • asal sayılar • asal sayıların sonsuzluğu • asal sayıların sonsuzluğunun ispatı • asal sayların sonsuz olduğunun ispatı • çelişki • çelişki ile ispat • elements • euclid • euclides • euclidin elements kitabı • euclidin ispatı • euler • eulerin ispatı • Öklid • öklidin ispatı

e sayısının irrasyonelliği üzerine

On 24 Mart 2010, in Matematik, by admin

$\pi$ sayısı gibi $e$ sayısı da, çoğu yerde karşımıza çıkan, matematiğin özel sayılarından biridir. Örneğin, analizde;

$f\left( x \right)=c\cdot {{e}^{x}}\,\left( c, \text{herhangi bir sabit} \right)$

fonksiyonu, türevi kendisi olan tek fonksiyondur. $e$ sayısı doğal logaritmanın tabanıdır ve $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$ dizisinin limitidir. Bu ispatta $e$ sayısının tersi alınmış faktöriyellerin seri toplamı olduğu gerçeği kullanılmıştır.

$\pi$ sayısı gibi $e$ sayısı da irrasyoneldir. Herhangi bir irrasyonel sayının, aralarında asal $p$ ve $q$ tamsayılarının bölümü

$\displaystyle{\frac{p}{q}\,\left( (p,q)=1,\,p\in \mathbb{Z},\,q\in \mathbb{Z}\backslash \{0\} \right)}$

Tagged with: çelişki • çelişki ile ispat • e • e sabiti • e sayısı • euler • Euler sabiti • Euler sayısı • fourier • irrasyonel • irrasyonel sayı • irrasyonel sayılar • joseph fourier • olmayana ergi • olmayana ergi metodu • olmayana ergi yöntemi

Bir Vektör Uzayının Boyutu

On 19 Şubat 2010, in Matematik, by admin

TANIM1: $K$ cisim olmak üzere, $K$ cismi üzerindeki bir $X$ lineer uzayının tabanının eleman sayısına o uzayın boyutu denir ve $\text{boy}X$ ya da $\text{boy}_{K}X$ ile gösterilir. $X$ 'in sonlu bir tabanı varsa $X$ 'e sonlu boyutlu uzay, aksi halde sonsuz boyutlu uzay denir.

Şimdi bu tanımı inceleyelim:

Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç1'e göre her lineer uzayın bir tabanı olduğundan, $X$ uzayının tabanının eleman sayısından bahsedebiliriz. Ayrıca $X$ sonlu boyutlu ise, yine Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Sonuç4'e göre $X$ 'in tüm tabanları aynı sayıda elemana sahiptir. Bu yüzden şöyle bir sonuca varırız: Bir $X$ lineer uzayının boyutu ya sonsuzdur ya da $n\in\mathbb{N}$ sabit bir sayı olmak üzere " $n$ " dir.

ÖRNEK1: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek1'e göre her cisim kendi üzerinde 1 boyutludur.

ÖRNEK2: Vektör Uzaylarında Tabanlar konumuzdaki Örnek2'ye göre $K$ bir cisim ve $n\in{\mathbb{Z}^{+}}$ olmak üzere $K^{n}$ , $K$ üzerinde $n$ boyutludur.

Tagged with: boyut • boyut kavramı • lineer • lineer bağımlı • lineer bağımlılık • lineer bağımsız • lineer bağımsızlık • Lineer Cebir • lineer cebir vizeleri • lineer kombinasyonlar • R Q üzerinde sonlu boyutlu değildir • taban • tabanlar • üniversite matematiği • uzayın boyutu • uzayın tabanı • vektör • vektör uzayının boyutu • vektör uzayları

Vektör Uzaylarında Tabanlar

On 15 Şubat 2010, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir $K$ -vektör uzayı $A\subset{X}$ olsun. Aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa $A$ 'ya $X$ 'in bir tabanı ya da bazı denir:

T1) $\text{span}A=X$ ,

T2) $A$ lineer bağımsızdır.

ÖRNEK1: $K$ bir cisim olmak üzere $K$ 'nın kendi üzerinde bir vektör uzayı olduğunu biliyoruz. $A=\{1\}$ olarak alalım.

T1) $\forall{k}\in{K}$ için $k=k.1$ olduğundan $\text{span}\{1\}=K$ 'dır,

Tagged with: lineer • lineer bağımlı • lineer bağımlılık • lineer bağımsız • lineer bağımsızlık • Lineer Cebir • lineer cebir vizeleri • lineer kombinasyonlar • polinom • polinom eşitliği • polinomların eşitliği • taban • tabanlar • üniversite matematiği • uzayın tabanı • vektör • vektör uzayları

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

On 12 Şubat 2010, in Matematik, by admin

TANIM1: $X$ bir $K$ -vektör uzayı ve $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ olsun. Bu durumda $c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K}$ olmak üzere $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta$ denklemi yalnızca $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ durumunda sağlanıyorsa, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ elemanlarına lineer bağımsızdır denir.

Burada en çok karıştırılan nokta şudur:

" $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ durumunda zaten $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta$ denklemi sağlanıyor. O halde $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ lineer bağımsızdır" şeklinde, yanlış bir anlaşılma oluyor. Lineer bağımsızlığın tanımı bu değildir. $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ elemanlarının lineer bağımsız olması için gerek ve yeter koşul $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}=\theta$ denkleminin $c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$ haricinde hiçbir çözümünün bulunmamasıdır. Yani, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ elemanları lineer bağımsız ve $c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\in{K}$ sayılarından en az biri sıfırdan farklıysa $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots+c_{n}x_{n}$ toplamı da sıfırdan farklıdır. Örneklerle zaten bu söylediklerimizi açıklayacağız.

TANIM2: $X$ bir $K$ -vektör uzayı olsun. Eğer, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ lineer bağımsız değilse bu elemalara lineer bağımlıdır denir. Lineer bağımlılık, lineer bağımsızlığın tersi olduğuna göre lineer bağımlılığın tanımı şu biçimde verilebilir:

$x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in{X}$ lineer bağımlıdır

Tagged with: lineer • lineer bağımlı • lineer bağımlılık • lineer bağımsız • lineer bağımsızlık • Lineer Cebir • lineer cebir vizeleri • lineer kombinasyonlar • polinom • polinom eşitliği • polinomların eşitliği • üniversite matematiği • vektör • vektör uzayları

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

On 05 Şubat 2010, in Matematik, by admin

$\big( X,||.|| \big)$ normlu uzayının iç çarpımlı uzay olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın $\forall{x,y}\in{X}, ||x+y||^{2}+||x-y||^{2}=2\big( ||x||^{2}+||y||^{2} \big)$ koşulunu (paralekenar özelliğini) sağlamasıdır. Bunu daha açık ifade edelim: Eğer $(X,||.||)$ normlu uzayı, iç çarpım ile üretilmişse bu uzay paralelkenar özelliğini ve "polarizasyon eşitliği"ni sağlar. Tersine $\big( X,||.|| \big)$ normlu uzayı paralelkenar özelliğini sağlıyor ise polarizasyon eşitliğinde verilen fonksiyon bir iç çarpımdır, yani, polarizasyon eşitliğiyle verilen fonksiyon aracılığıyla $\big( X,(\, , ) \big)$ bir iç çarpımlı uzay olur. Polarizasyon eşitliği Reel ve Kompleks lineer uzaylarda, aşağıdaki biçimde verilir:

$\displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}-||x-y||^{2} \right)}$ $\mathbb{R}$ -lineer uzaylarda,

$\displaystyle{(x,y)=\frac{1}{4}\left( ||x+y||^{2}+i||x+iy||^{2}-||x-y||^{2}-i||x-iy||^{2} \right)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^{k}||x+i^{k}y||^{2}}$

$\mathbb{C}$ -lineer uzaylarda.

Norm ile iç çarpım arasındaki bağıntıyı veren bu özelliği fonksiyonel analiz okuyan biri mutlaka görmüştür. Fakat bunun ispatı ne internette ne de kitaplarda vardır. En iyi fonksiyonel analiz kitaplarında bile yalnızca ispatın yöntemi gösterilmiş. Şimdi, 3 yılda tamamladığım bu ispatı siz akademikmatematik.com kullanıcılarıyla paylaşacağım:

Tagged with: banach • banach uzayı • gerek ve yeter • gerek ve yeter koşul • hilbert • hilbert uzayı • iç çarpım • kompleks lineer uzay • lineer • lineer dönüşüm • norm • özdeşliği • paralelkenar • paralelkenar eşitliği • paralelkenar özelliği • polarizasyon • polarizasyon eşitliği • reel lineer uzay • toplamsal fonksiyon • vektör

Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

On 04 Şubat 2010, in Matematik, by admin

$X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay olmak üzere $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ise $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}$ olduğunu biliyoruz. Her supremum probleminde olduğu gibi burada da "supremum maksimuma eşit midir" problemi vardır. Ben, önceleri her sınırlı lineer operatörün normunun maksimum ile hesaplanabileceğini düşündüm. Günlerce bunu ispatlamaya çalıştım ama nafile, çıkmıyordu. Sonra, acaba aksi bir örnek var mıdır diye düşündüm, uğraştım ve en son aşağıda yayımlayacağım örneği inşa ettim. Çok sevinmiştim bu problemi çözünce. Hemen gidip bu örneği hocam Nazım Kerimov ile paylaştım ve onun büyük bir takdirini kazandım.

Biz, önce bu supremumun maksimuma eşit olması için bir yeter koşul verip daha sonra, her durumda supremumun maksimuma dönüşmediğini göstereceğiz.

ÖNERME: $X$ ve $Y$ iki normlu lineer uzay, $A:X\rightarrow{Y}$ sınırlı lineer operatör ve $M\ge{0}$ olsun. Bu takdirde $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ ve $\exists{x_{0}}\in{X\setminus{\{\theta\}}}: ||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ ise $||A||=M$ 'dir. (Yani, $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğunda, sıfırdan farklı tekbir noktada eşitlik sağlanıyorsa $||A||=M$ 'dir)

İSPAT: $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğundan $\displaystyle{||A||=\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}\le{M}}$ olduğu açıktır. Öte yandan $\displaystyle{M=\frac{||Ax_{0}||}{||x_{0}||}\le{\sup_{x\ne\theta}\frac{||Ax||}{||x||}}=||A||}$ olduğundan $M\le{||A||}\le{M}$ ve dolayısıyla $||A||=M$ sağlanır.

O halde $\forall{x}\in{X}, ||Ax||\le{M||x||}$ olduğunda, $||Ax_{0}||=M||x_{0}||$ olacak şekilde bir

Tagged with: aksi örnek • fonksiyonel • Fonksiyonel Analiz Problemleri • lineer • lineer operatör • maksimum • norm • operatör • operatörün normu • sınırlı • sınırlı lineer operatör • sınırlı operatör • sürekli fonksiyonlar uzayı • türev operatörü • türevi sürekli fonksiyonlar uzayı

Matematik Soyağacı Projesi

On 29 Ocak 2010, in Matematik, by admin

Mathematics Genealogy Project (Matematik Soyağacı Projesi)

20 Ocak 2010 itibariyle 139.335 kayda ulaşan matematik soyağacı projesi amerikan matematikçiler derneği -ams- altında yürütülmektedir.Amacı büyük matematikçilerin birbirleri ile akrabalık bağlarını ortaya çıkarmaktır.(Bu bağ düşündüğünüz anlamda akrabalık da olabilir matematiksel akrabalıkta olabilir.)

Proje Web Sayfası: http://www.genealogy.ams.org

Matematik Şecere Projesinde; fon ihtiyacı, öğrenci yardımları ve diğer ilgili maliyetler bulunmaktadır. Eğer katkıda bulunmak istiyorsanız, (lütfen vergi indirilemeyen katkı gönderin)

Matematik Soyağacı Projesi
Matematik Bölümü
Kuzey Dakota State University
PO Box 6.050
Fargo, Kuzey Dakota 58108-6050

Tagged with: ams • Kuzey Dakota State University • matematik projeleri • matematik şecere • matematik soyağacı

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

On 29 Ocak 2010, in Matematik, by admin

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Jacques Salomon Hadamard, Fransa Versailles’te 8 Aralık 1865 günü doğdu. Yahudi asıllı Fransız matematikçinin babası Latince ; annesi piyano öğretmeniydi.

1884 yılında Ecole Normale ’e girdi. Burada, 1892 yılında D.Sc. derecesini aldı. 1909 yılından 1937 yılına kadar College de France’da profesör olarak matematik öğretmenliği yaptı. Aynı zamanda, 1912 yılıyla 1937 yılları arasında Ecole Polytechnique’te çalıştı. Önemli buluşları, karmaşık fonksiyonlar kuramı, sayılar kuramı ve diferansiyel denklemler üzerinedir. Çalışmalarının birçoğu, uygulamalı matematiğin her dalına etkili oldu ve matematiğin gelişmesini sağladı.

Serilerin yakınsaklık yarıçapını veren formülü çok kullanılır. Çok sayıda eseri vardır. Paris’te, 17 Ekim 1963 günü 98 yaşında öldü.

Daha detaylı bilgi almak için ingilizce sayfayı ziyaret edin;

http://en.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard

Tagged with: cauchy-hadamard • hadamard biyografi • hadamard formülü • Jacques Salomon Hadamard

Previous Entries

Akademik Matematik

Reel Sayılar

Asal Sayıların Sonsuzluğu

e sayısının irrasyonelliği üzerine

Bir Vektör Uzayının Boyutu

Vektör Uzaylarında Tabanlar

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Normlu Uzayın İç Çarpımlı Uzay Olması için Gerek ve Yeter Koşul

Operatörün Normunun Maksimum ile Hesaplanması

Matematik Soyağacı Projesi

Mathematics Genealogy Project (Matematik Soyağacı Projesi)

Proje Web Sayfası: http://www.genealogy.ams.org

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Jacques Salomon Hadamard (1865-1963)

Yararlı Siteler

Son Yorumlar

Kategoriler

Akademik Matematik

Pages

Stay In Touch

More